台形公式を用いた積分の近似とその誤差

（1）$y=\dfrac{1}{t}$ は下に凸なので，左辺は台形の面積で上からおさえられる。

台形の面積は $x\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\right)$ となり右辺と一致する。

（2）左辺の積分を計算することにより $\log \dfrac{a+x}{a-x} <x\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\right)$ を得る。

ここで，$\dfrac{a+x}{a-x}=2$ とすると $a=3x$ となるが，このとき得られる不等式は $\log 2 <0.75$ となり精度が足りない。そこで 台形二つの和で定積分の値を近似することにする。

（1）と同様な考え方で $\log \dfrac{a+x}{a-x} <\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{a-x}\right)$ を得る。再び $a=3x$ としてみると，右辺は $\dfrac{17}{24}\fallingdotseq 0.708333\cdots$ となり所望の精度が得られた。

まず，一番左端の台形部分の誤差 $e$ について考える：

$e=\left|\displaystyle\int_a^{a+h}f(x)dx-\dfrac{h}{2}\{f(a)+f(a+h)\}\right|\\ =\left|\displaystyle\int_0^{h}f(a+t)dt-\dfrac{h}{2}\{f(a)+f(a+h)\}\right|$

ここで，テイラー展開を使う（$h$ が十分小さい場合を考え，$h^3$ 以下の項を無視する）と，

$e\fallingdotseq\\ \left|\displaystyle\int_0^{h}\{f(a)+tf'(a)+\dfrac{t^2}{2}f''(a)\}dt-\dfrac{h}{2}\{2f(a)+hf'(a)+\dfrac{h^2}{2}f''(a)\}\right|\\ =\dfrac{h^3|f''(a)|}{12}$

（$h,h^2$ の項は消える）。

つまり，$h$ が十分小さいとき，台形一つあたりの誤差は $h^3$ に比例する。一方，台形の数は $\dfrac{1}{h}$ に比例するので，全体の誤差としては $h^2$ に比例（$N^2$ に反比例）することになる。