正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことの証明

方法1. 累積分布関数を用いた証明

標準正規分布の確率密度関数を，

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left(-\dfrac{x^2}{2}\right)$

とする。また，$f(x)$ の原始関数の1つを $f^{*}$ と書く。

$Y=X^2$ が従う分布の確率密度関数 $g(y)$ は，累積分布関数の微分であり，

$g(y)=\dfrac{d}{dy}P(X^2\leq y)\\ =\dfrac{d}{dy}P(-\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y})\\ =\dfrac{d}{dy}\displaystyle\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)dx\\ =\dfrac{d}{dy}\{f^{*}(\sqrt{y})-f^{*}(-\sqrt{y})\}\\ =\dfrac{d\sqrt{y}}{dy}f(\sqrt{y})-\dfrac{d(-\sqrt{y})}{dy}f(-\sqrt{y})\\ =\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{y}{2}\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{y}{2}\right)\\ =\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi}}y^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\dfrac{y}{2}\right)$

となる。 $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ であり，これは自由度1のカイ二乗分布をと一致する。

方法2. 確率密度関数を用いた説明

$Y=X^2$ が従う分布の確率密度関数 $g(y)$ について考える。$\Delta y$ が十分小さいとき，$P(y\leq Y\leq y+\Delta y)=g(y)\Delta y$

左辺を変形すると，$P(\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y+\Delta y}) +P(-\sqrt{y+\Delta y}\leq X\leq -\sqrt{y})\\ \fallingdotseq P(\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y}+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\Delta y)\\ +P(-\sqrt{y}-\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\Delta y\leq X\leq -\sqrt{y})\\ =f(\sqrt{y})\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\Delta y+f(-\sqrt{y})\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\Delta y\\ =\dfrac{f(\sqrt{y})}{\sqrt{y}}\Delta y$

よって，

$g(y)=\dfrac{f(\sqrt{y})}{\sqrt{y}}\\ =\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi}}y^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\dfrac{y}{2}\right)$

となる。