分野: 平面図形


内接円の半径1

内接円とは,三角形の3つの辺全てに接する円のこと。内接円の半径は,
$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$
という公式を使って計算することができる。

三角形の内接円について詳しく解説します。前半では,内接円の半径の計算公式の意味を解説し,後半では公式を2通りの方法で証明します。


接弦定理

接線と弦のなす角 $\angle BAD$ は,その弦に対する円周角 $\angle ACB$ と等しい。これを接弦定理と言う。

接弦定理の意味と証明,および接弦定理の逆とその証明について解説します。


相似な平面図形について,面積比=相似比の二乗
相似な空間図形について,体積比=相似比の三乗

面積比をきちんと理解できれば体積比もほぼ同様に理解できるので「面積比=相似比の二乗」を中心に解説します。


任意の正の有理数 $q$ に対して,長さ $1$ の線分が与えられれば長さ $\sqrt{q}$ の線分を定規とコンパスで作図できる。

長さ $\sqrt{q}$ の線分を作図できるということは,面積 $q$ の正方形を作図できるということでもあります!


sinmenseki

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は,
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B$

教科書に載っている非常に基本的な公式です。前半はこの公式を使う例題および証明です。後半は他の公式との関係について考えます。


ミケルの定理

ミケルの定理:
3点 $ABC$ と直線 $BC$ 上の点 $D$,$CA$ 上の点 $E$,$AB$ 上の点 $F$ がある。この6点は全て異なるとする。
このとき,三つの円 $\Gamma(AEF)$,$\Gamma(BDF)$,$\Gamma(CDE)$ は一点で交わる。


周の長さが一定である図形の中で面積が最大のものは円です。(等周定理)

等周定理の厳密な証明は少し大変なので,ここでは等周定理に関連して「対称性が高い図形は面積が大きい」というテーマで,高校数学で分かる性質をいくつか紹介します。