同じ誕生日の二人組がいる確率について

誕生日のパラドックス

2323 人いれば,その中に「同じ誕生日である二人組」が 5050 %以上の確率で存在する。

同じ誕生日である二人組が存在する確率・三人組が存在する確率などを解説します。

なお,この記事では以下を仮定します。

  • 1年は 365365 日(閏年は考えない)
  • 誕生日がどの日になる確率も 1365\dfrac{1}{365}

同じ誕生日の二人組が存在する確率

nn 人いるときに,その中に同じ誕生日である二人組が存在する確率を求めてみます。

なお,n366n\geqq 366 のときは必ず誕生日が同じ二人組が存在するので n365n\leqq 365 の場合を考えます。

比較的簡単な大学入試レベルの練習問題です。

解答

余事象の考え方で求める。

誕生日が全員バラバラとなる確率は,

(二人目が一人目と異なる確率)×\times (三人目が最初の二人と異なる確率)××\times\cdots\timesnn 人目も異なる確率)

なので,

364365×363365××365(n1)365=364Pn1365n1=365Pn365n\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\cdots\times\dfrac{365-(n-1)}{365}\\=\dfrac{{}_{364}\mathrm{P}_{n-1}}{365^{n-1}}\\ =\dfrac{{}_{365}P_n}{365^n}

よって,求める確率は,

1365Pn365n1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^{n}}

具体的な値

Wolfram Alphaで具体的な数値を計算してみました!

nn 人いるときにその中に同じ誕生日である二人組が存在する確率は,

  • n=5:0.027n=5:0.027
  • n=10:0.117n=10:0.117
  • n=15:0.253n=15:0.253
  • n=20:0.411n=20:0.411
  • n=22:0.476n=22:0.476
  • n=23:0.507n=23:0.507
  • n=30:0.706n=30:0.706
  • n=40:0.891n=40:0.891
  • n=50:0.970n=50:0.970
  • n=70:0.999n=70:0.999

7070 人いたらほぼ間違いなく同じ誕生日の二人組がいるという訳です。

パラドックスと呼ばれる理由

上記の確率は直感より大きく感じる人が多いと思います。

その理由は同じ誕生日である二人組が存在する確率自分と同じ誕生日の人がいる確率を混同してしまうからです。

(別に混同しないよ,全然パラドックスじゃない! と思う人も少なからずいると思います。しかし,実際多くの人の直感と数値が異なっているためにパラドックスと呼ばれています。)

適当な直感による間違った説明

特定の二人組が同じ誕生日になる確率は 1365\dfrac{1}{365} であり,珍しいことだから上記の確率は小さい(n365\dfrac{n}{365} くらい?)はず

正しい直感による説明

nn 人の中で二人組は nC2{}_n\mathrm{C}_2 通りあり,nn に比べてだいぶ多い。だからその中で一組くらいは珍しいことが起こっても不思議ではない」

3人同じ誕生日の人がいる確率

nn 人いたときに同じ誕生日の三人組が存在する確率を計算します。

ただし,三人組の場合は数式が複雑になるので,n=6n=6 の場合の具体例のみ紹介します。難関大の入試問題レベルです。

6人いたときに3人以上同じ誕生日になる確率

今回も余事象を考える。

6人を誕生日ごとにグループ分けする。3人以上のグループができない確率を求める。各グループの人数を並べて表記すると,以下の4パターンに分かれる。

  • (1,1,1,1,1,1)
    これはさきほどの問題で余事象として求めた: 364P53655\dfrac{{}_{364}\mathrm{P}_{5}}{365^{5}}

  • (2,1,1,1,1)
    二人組の選び方が 6C2{}_6\mathrm{C}_2 通り。 55 グループの誕生日の選び方は 365P5{}_{365}\mathrm{P}_{5} 通り。よって,このようになる確率は 6C2365P53656{}_6\mathrm{C}_2\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{5}}{365^{6}}

  • (2,2,1,1)
    同様に,確率は 6C24C22365P43656\dfrac{{}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2}{2}\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{4}}{365^{6}}

  • (2,2,2)
    同様に,確率は 6C24C23!365P33656\dfrac{{}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2}{3!}\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{3}}{365^{6}}

よって,求める確率は

113656k=03akk!365P6k1-\dfrac{1}{365^6}\displaystyle\sum_{k=0}^3\dfrac{a_k}{k!}{}_{365}\mathrm{P}_{6-k}

ただし,a0=1a_0=1a1=6C2,a2=6C24C2,a3=6C24C22C2a_1={}_6\mathrm{C}_2,\:a_2={}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2,\:a_3={}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2\cdot {}_2\mathrm{C}_2

3人一緒になる確率を計算するのがこんなに大変だとは思いませんでした(・_・;)

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