二進法と十進法の変換方法と計算例

二進法の定義より，

$110101=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0$

これをいつもの十進法の世界で計算すると，$32+16+4+1=53$

小数が入っても同じです。

二進法の定義より，

$101.011=2^2+2^0+2^{-2}+2^{-3}$

これを十進法の世界で計算すると，$4+1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{43}{8}$

$53$ から出発して $2$ で割った商を下に，余りを右下に書く。出てきた商に対して同じ操作を繰り返す。商が0になるまでやる。二列目の数字を 下から読むと求める二進法となる。

よって，$53$ は二進法では $110101$

例題3の変換操作で6つの式が得られた。一番上の式は，

$53=26\times 2+1$

この $26$ に上から二つめの式を代入すると，

$53=(13\times 2+0)\times 2+1\\ =13\times 2^2+1$

この式の $13$ に上から三つ目の式を代入すると，

$53=(6\times 2+1)\times 2^2+1\\ =6\times 2^3+2^2+2^0$

以下同様な操作を繰り返すことで，結局

$53=2^5+2^4+2^2+2^0$ という二進数表示を得る。

そして，求めたい係数（$0$ or $1$ ）は各操作の余りを（下から）並べたものである。

$2^3m=43$ は整数なのでさきほどの方法で二進数表示できる。

図より $43$ は二進法で $101011$ なので

$2^3m=2^5+2^3+2^1+2^0$

よって，$m=2^2+2^0+2^{-2}+2^{-3}$

となり，$m$ の二進数表示は $101.011$