バームクーヘン積分の例と証明

$$V=\displaystyle\int_0^12\pi^2x^3\sin\pi x^2dx$$ ここで，$\pi x^2=y$ と置換すると，$\dfrac{dy}{dx}=2\pi x$ より， $$V=\displaystyle\int_0^{\pi}y\sin ydy$$ これを部分積分すると，$V=\pi$ となる。

目標の図形のうち，$x=t,x=t+\Delta t$ で囲まれた部分を $y$ 軸の回りに回転させた立体を考える。$\Delta t$ が小さいとき，この立体は，「半径 $t+\Delta t$ で高さ $f(t)$ の円柱」から「半径 $t$ で高さ $f(t)$ の円柱」を除いたものと近似できる。

よって，その微小体積は $$f(t)\pi(t+\Delta t)^2-f(t)\pi t^2$$ となる。 $\Delta t$ が十分小さいとき $\Delta t^2$ の項は無視できるので，微小体積は $2\pi tf(t)\Delta t$ となる。これを積分するとバームクーヘン積分の公式を得る。

簡単な説明1における図形は，切り開いてみると，各辺の長さが $f(t), \Delta t, 2\pi t$ の直方体に近似できる。そのため，微小体積は $2\pi t f(t) \Delta t$ となる。

$f(x)$ が単調減少の場合を考える（単調増加の場合も同様）。

$f(\alpha)=A,\:f(\beta)=B$，$f$ の逆関数を $f^{-1}$ とおくと， $$V=\pi\beta^2B+\displaystyle\int_{B}^A\pi (f^{-1}(y))^2dy-\pi\alpha^2A$$ （斜線部分＝下＋上ー左）

次に，第二項の積分を変形する。$x=f^{-1}(y)$ と置換すると，$\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$ より， $$\begin{aligned}&\displaystyle\int_{B}^A\pi (f^{-1}(y))^2dy\\ &=\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha}\pi x^2f'(x)dx\\ &=-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\pi x^2f'(x)\end{aligned}dx$$

さらに部分積分を用いると， $$\begin{aligned}&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\pi x^2f'(x)dx\\ &=\displaystyle\left[\pi x^2f(x)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx \\&=\displaystyle\pi\beta^2 B-\pi\alpha^2 A-\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx\end{aligned}$$

以上より，$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi xf(x)dx$

となりバームクーヘン積分が証明された。