$x\to\infty$ の極限において，無限に大きくなるスピードは，
$x$ の対数関数 $\ll$ $x$ の多項式 $\ll$ $x$ の指数関数
$\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形極限の重要な話題です。
なお，多項式というと指数が非負整数に限られますが，この記事に限っては $x^{0.1}$ など指数が任意の非負実数のものを一般に多項式と呼んでいます。
指数関数と多項式の極限の勝負
「多項式 $\ll$ 指数関数」を実際に極限の式で書き下してみます。
$r\geq 0,\: a > 1$ のとき以下が成立する：
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{a^x}=0$
上記の極限の式を丸ごと覚えるのではなくて，「指数関数は無限大で多項式よりはるかに強い」と覚えておきましょう。
どんな多項式よりも発散のスピードが速いということから，指数関数の発散を「爆発」と表現することがあります。
例1
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x}{x^{10000}}=\infty$
一見信じがたいですが，無限大では $x^{10000}$ よりも $2^x$ の方が強いのです。
例2
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{3x^2+x+1}=\infty$
例2のように $a$ がネイピア数 $e$ であるような場合が超頻出です。また，（当然ですが）多項式の項は複数あっても構いません（指数関数に勝てません）。
例3
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{1.1^n}=0$
関数の極限を数列の極限にしても同様な公式が成立します。
対数関数と多項式の極限の勝負
$r > 0$ のとき以下が成立する：
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^r}=0$
こちらも極限の式を丸ごと覚えるのではなくて，「多項式は無限大で対数関数よりはるかに強い」と覚えておきましょう。
例4
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\log x}=\infty$
$r=\dfrac{1}{2}$ としたものです。
指数関数の方の公式を認めてしまえば，対数関数の公式は簡単に導けます。実際，$\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{(e^r)^y}{y}=\infty$ において $e^y=x$ とおけば $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty$ となり，対数関数の公式が導けます。逆も然りです。よって，指数関数バージョンの公式と対数関数バージョンの公式は本質的に同じものです。以下では指数関数バージョンを証明します。
指数関数の爆発性の証明
$a > 1$，$r > 0$ に対して $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty$ を証明します。二項定理を使って指数関数を展開します。二項定理を使うために $x$ を整数に限る必要があるためガウス記号を導入します。
証明
$x$ を超えない最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ とおく。→ガウス記号の定義と3つの性質
すると，$a^x \geq a^{\lfloor x\rfloor}$ なので，はさみうちの原理（追い出しの原理）より
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^{\lfloor x\rfloor}}{x^r}=\infty$ を証明すればよい。
また，$x$ が十分大きいところでの挙動を考えているので，$x\geq r+1$ としてよい。このとき，二項定理を用いると，
$a^{\lfloor x\rfloor}=\{1+(a-1)\}^{\lfloor x\rfloor}$
$=1+\lfloor x\rfloor(a-1)+\cdots + $($\lfloor x\rfloor$ の $r+1$ 次式)$ (a-1)^{r+1}+\cdots$
この展開を $r+1$ 次の項で打ち切ったもの $P(x)$ は $\lfloor x\rfloor$ の $r+1$ 次式であり，$r+1$ 次の係数は正である。
よって，$\dfrac{a^{\lfloor x\rfloor}}{x^r} > \dfrac{P(x)}{x^r}$ となり右辺は $x\to\infty$ で無限大に発散するので題意は示された。
注：なお，マクローリン型不等式：
$e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ を知っていれば
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^r}=\infty$ はすぐに分かります。
注2：ロピタルの定理を認めてしまえば，ロピタルの定理を繰り返し使うことでも証明できます。→ロピタルの定理の条件と例題
→マクローリン型不等式（指数関数）