アステロイド曲線の重要な性質まとめ

$\theta$ 回転したあと円の中心 $B$ は $\left(\dfrac{3}{4}a\cos\theta, \dfrac{3}{4}a\sin\theta\right)$ となる。

また，$BX$ と $x$ 軸の正の向きがなす角は $\alpha$ は，

$\dfrac{a}{4}(\alpha+\theta)=a\theta$ を満たすので，

$\overrightarrow{BX}=\left(\dfrac{a}{4}\cos 3\theta, -\dfrac{a}{4}\sin 3\theta\right)$

よって，$X$ の座標は，三倍角の公式を用いることにより

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\cos^3\theta, a\sin^3 \theta)$

であることが分かり，アステロイドの媒介変数表示と一致する。

包絡線の求め方と例題で述べた定理を使う。

線分の方程式は $$\dfrac{x}{a\cos t}+\dfrac{y}{a\sin t}=1$$ つまり $$x\sin t+y\cos t=a^2\sin t\cos t$$ この式の両辺を $t$ で微分すると， $$x\cos t-y\sin t=a^2(\cos^2t-\sin^2 t)$$ この2式を連立させて $t$ を消去すると $$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$

線分の方程式 $$y=a\sin t-x\tan t$$ において，$x$ を固定して $t$ が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動くときの $y$ の最大を求める。微分すると， $$y'=a\cos t-x\dfrac{1}{\cos^2 t}$$ よって $\cos^3t=\dfrac{x}{a}$ のとき $y$ が最大。もとの線分の方程式 $$\dfrac{x}{a\cos t}+\dfrac{y}{a\sin t}=1$$ に代入すると $$\cos^2 t+\dfrac{y}{a\sin t}=1$$ より $\sin^3t=\dfrac{y}{a}$

以上2式より $t$ を消去すると $$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$

対称性より，第一象限の面積を計算して $4$ 倍すればよい。

$$\begin{aligned} S &= 4 \int_0^{a}ydx\\ &=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\dfrac{dx}{d\theta}d\theta\\ &=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\cdot (-3a\sin\theta\cos^2\theta)d\theta\\ &=12a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta\cos^2\theta d\theta\\ &=12a^2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6\theta d\theta \right) \end{aligned}$$

この積分計算は，部分積分と漸化式を用いて頑張る（→ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式）：

$$S=12a^2\left(1-\dfrac{5}{6}\right)\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{8}\pi a^2$$

$$S = 12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta\cos^2\theta d\theta$$

を計算する。対称性を用いた定積分の計算（King Property） を使う。$t=\dfrac{\pi}{2}-\theta$ と置換すると，

$$S = 12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^4\theta d\theta$$

である。よって， $$S+S=12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta d\theta$$

よって，$$\begin{aligned}S&=\dfrac{3}{2}a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 2\theta d\theta\\&=\dfrac{3}{2}a^2\times\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4\theta )d\theta\\ &=\dfrac{3}{8}\pi a^2\end{aligned}$$

対称性より，第一象限の長さを計算して $4$ 倍すればよい。

$$\begin{aligned} l &= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\dfrac{dx}{d\theta})^2+(\dfrac{dy}{d\theta})^2}d\theta\\ &= 4a \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9\cos^2\theta\sin^2 \theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}d\theta\\ &= 6a \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta\\ &= 6a \end{aligned}$$