2009年APMO第２問の解説

$f(k)=\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}-\dfrac{1}{k^2}$ とおく。

$f(k)$ を通分すると，$f(k)=\dfrac{g(k)}{k^2(k^2+1)(k^2+2)(k^2+3)(k^2+4)(k^2+5)}\cdots(※)$ という形になる。（ただし，$g(k)$ は $10$ 次多項式）

ここで，$k=1,2,3,4,5$ で $f(k)=0$ つまり $g(k)=0$ なので，因数定理により $g(k)$ は $(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)(k-5)$ を因数に持つ。

さらに，$g(k)$ は偶関数なので，$(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)$ を因数に持つ。

よって，$g(k)=A(k^2-1)(k^2-4)(k^2-9)(k^2-16)(k^2-25)$

となりあとは $A$ を求めればよい。

$※$ の両辺を $k^2$ 倍して $k=0$ を代入すると，$-1=\dfrac{g(0)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}$

これより，$A=\dfrac{1}{120}$ が分かり $g(x)$ が求まった。

よって，求める値は，

$f(6)+\dfrac{1}{36}\\ =\dfrac{g(6)}{36\cdot 37\cdot 38\cdot 39\cdot 40\cdot 41}+\dfrac{1}{36}\\ =\dfrac{35\cdot 32\cdot 27\cdot 20\cdot 11}{120\cdot 36\cdot 37\cdot 38\cdot 39\cdot 40\cdot 41}+\dfrac{1}{36}\\ =\dfrac{187465}{6744582}$