パラボラアンテナの原理と放物線の性質

$(x_0,k)$ から放たれた信号について考える。対称性より $x_0 > 0$ の場合を考えれば十分。

この信号は $A:(x_0,ax_0^2)$ で反射する。反射した後の軌道（直線）の傾きを $m$ とすると，その直線 $l$ の方程式は $y-ax_0^2=m(x-x_0)$

よって，次は $m$ を求めるのが目標。

また，$A$ における接線の傾き（$=$ 微分係数）は $2ax_0$ であることに注意する。

図において

• $\tan \alpha=\dfrac{1}{\tan(90^{\circ}-\alpha)}$ より，$\tan\alpha=\dfrac{1}{2ax_0}$
• $\tan$ の加法定理より，$\tan\beta=\dfrac{2ax_0-m}{1+(2ax_0)m}$

入射角と反射角は等しいので $\alpha=\beta$ ，すなわち，

$\dfrac{1}{2ax_0}=\dfrac{2ax_0-m}{1+2ax_0m}$

これを $m$ について解くと，$m=ax_0-\dfrac{1}{4ax_0}$

よって，$l$ の方程式は $y-ax_0^2=mx-ax_0^2+\dfrac{1}{4a}$

つまり $y=mx+\dfrac{1}{4a}$ となり，$x_0$ の値によらず定点 $F \left( 0,\dfrac{1}{4a} \right)$ を通ることが分かる。

$PA+AF=PA+AB=\dfrac{1}{4a}+k$ となり $x_0$ によらない。

ただし，$B$ は $x=x_0$ と準線の交点。