平面幾何の美しい定理4つ

更新 2021/03/07

平面図形の美しい定理を4つ紹介します。

パップスの定理

$A$ ， $B$ ， $C$ が同一直線上にある。

$D$ ， $E$ ， $F$ が同一直線上にある。

$AE$ と $BD$ の交点を $P$

$BF$ と $CE$ の交点を $Q$

$CD$ と $AF$ の交点を $R$

とするとき， $P$ ， $Q$ ， $R$ は同一直線上にある。

メネラウスの定理を駆使することで証明できます。

円に外接する六角形 $ABCDEF$ について，三直線 $AD$ ， $BE$ ， $CF$ は一点で交わる。

より一般に，円を一般の二次曲線に拡張したバージョンもあります。

Brianchon’s theorem（英語サイト）ではブリアンションの定理を3行で証明しています。ただし，根軸・根心についての知識が必要です。→根軸の性質と根心の存在定理

六点 $A$ ～ $F$ が円上にある。

$AE$ と $BD$ の交点を $P$

$BF$ と $CE$ の交点を $Q$

$CD$ と $AF$ の交点を $R$

とするとき， $P$ ， $Q$ ， $R$ は同一直線上にある。

図は $ABCFED$ の順に並んでいる場合ですが，別の順番でもOKです。

「円と六角形」という観点で見れば，ブリアンションの定理と似ていますね（実は，二つの定理は射影幾何における「双対」という関係にある）。

また，この図（ $ABCFED$ の順番の図）はパップスの定理とも似ていますね。

ペンタグラムに関する定理

$A_1B_1A_2B_2A_3B_3A_4B_4A_5B_5$ がペンタグラム（5つトゲを持つ星）のとき，

$\dfrac{A_1B_1}{B_1A_2}\cdot\dfrac{A_2B_2}{B_2A_3}\cdot\dfrac{A_3B_3}{B_3A_4}\cdot\dfrac{A_4B_4}{B_4A_5}\cdot\dfrac{A_5B_5}{B_5A_1}=1$

お星様の周りを一周する感じです。

（メネラウスの定理を用いた証明など，この定理の詳細はA Menelaus-Type Theorem for the Pentagramに載っています（読者の方に教えていただきました）。

パップスの定理の図を見ていると，あやとりを思い出します。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！