2016/08/15

平面幾何の美しい定理4つ

分野: 平面図形  レベル: マニアック

平面図形の美しい定理を4つ紹介します。

パップスの定理

パップスの定理

$A$,$B$,$C$ が同一直線上にある。
$D$,$E$,$F$ が同一直線上にある。
$AE$ と $BD$ の交点を $P$
$BF$ と $CE$ の交点を $Q$
$CD$ と $AF$ の交点を $R$
とするとき,$P$、$Q$、$R$ は同一直線上にある。

メネラウスの定理を駆使することで証明できます。

ブリアンションの定理

ブリアンションの定理

円に外接する六角形 $ABCDEF$ について、三直線 $AD$,$BE$,$CF$ は一点で交わる。

より一般に、円を一般の二次曲線に拡張したバージョンもあります。

Brianchon’s theorem(英語サイト)ではブリアンションの定理を3行で証明しています。ただし、根軸、根心についての知識が必要です。→根軸の性質と根心の存在定理

パスカルの定理

パスカルの定理

六点 $A$~$F$ が円上にある。
$AE$ と $BD$ の交点を $P$
$BF$ と $CE$ の交点を $Q$
$CD$ と $AF$ の交点を $R$
とするとき,$P$、$Q$、$R$ は同一直線上にある。

図は $ABCFED$ の順に並んでいる場合ですが、別の順番でもOKです。

「円と六角形」という観点で見れば、ブリアンションの定理と似ていますね(実は、二つの定理は射影幾何における「双対」という関係にある)。

また、この図($ABCFED$ の順番の図)はパップスの定理とも似ていますね。

ペンタグラムおける美しい定理

ペンタグラムに関する定理

$A_1B_1A_2B_2A_3B_3A_4B_4A_5B_5$ がペンタグラム(5つトゲを持つ星)のとき、
$\dfrac{A_1B_1}{B_1A_2}\cdot\dfrac{A_2B_2}{B_2A_3}\cdot\dfrac{A_3B_3}{B_3A_4}\cdot\dfrac{A_4B_4}{B_4A_5}\cdot\dfrac{A_5B_5}{B_5A_1}=1$

お星様の周りを一周する感じです。

(メネラウスの定理を用いた証明など、この定理の詳細はA Menelaus-Type Theorem for the Pentagramに載っています(@Akira_No41 氏に教えていただきました)。

パップスの定理の図を見ていると、あやとりを思い出します。
分野: 平面図形  レベル: マニアック