最終更新:2016/12/06

増減表の書き方と例題

分野: 極限,微分  レベル: 基本公式

増減だけでよいときは一階微分まで、
凹凸や変曲点も調べたいときは二階微分まで計算して増減表を書く。

増減だけを調べればよい場合

例題

$y=x^3-3x$ の増減を調べよ。

方針:増減を調べればよいので,一階微分まで計算して$x$,$f'(x)$,$f(x)$ の3行の増減表を書いてみます。

解答

ステップ1: $f'(x)$ の符号を調べる。
$f'(x)=3x^2-3\\
=3(x^2-1)\\
=3(x+1)(x-1)$
よって,$f'(x)=0$ の解は $x=\pm 1$
したがって,
$x<-1$,$1<x$ のとき $f'(x) > 0$
$-1<x<1$ のとき $f'(x) < 0$

ステップ2: 増減表を書く。
まずはステップ1の情報をもとに $f'(x)$ の情報を書く(1行目と2行目)。
増減表の例
最後に,$f'(x)$ の情報をもとに $f(x)$ の行を埋めていく(3行目)。

$x=-1$ で極大値 $2$,$x=1$ で極小値 $-2$ を取ることが分かる。

増減表の書き方補足

  • $x$ の行には「$\cdots$」または「$f'(x)=0$ の解」が入ります。
  • $f'(x)$ の行には「+」「-」「0」のいずれかが入ります。
  • $f(x)$ の行には「右上矢印」「右下矢印」「具体的な関数の値」のいずれかが入ります。

凹凸や変曲点も調べる場合(数III)

さきほどの続きです。ステップ2の結果からグラフの概形を書くことも可能ですが,さらに二階微分も計算して$x$,$f'(x)$,$f”(x)$,$f(x)$ の4行の増減表を書いてみます。

例題(改)

$y=x^3-3x$ の増減、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を書け。

解答

ステップ2(改): $f”(x)$ の符号を調べる。
$f'(x)=3x^2-3$ であったので,$f”(x)=6x$
よって,$f”(x)=0$ の解は $x=0$
また,
$x<0$ のとき $f”(x) < 0$
$x>0$ のとき $f”(x) > 0$

ステップ3: 増減表を書く。
まずはステップ1の情報をもとに $f'(x)$ の情報を書く(1行目と2行目)。

増減表の例

次にステップ2(改)の情報をもとに $f”(x)$ の情報を書く(3行目)。
最後に2行目と3行目の符号をもとに4行目を書く。

ステップ4: グラフを書く。

y=x^3-3xのグラフ

ステップ3で得た増減表の $f(x)$ の行を参考にすると,グラフの概形は図のようになる。

$x < 0$ のとき上に凸,$x > 0$ のとき下に凸,変曲点は $(0,0)$ であることが分かる。

増減表の書き方補足

基本は3行の場合と同じですが,4行目の矢印は4種類あります。
$f”(x)$ がマイナスのところでは接線の傾きは減少していくので,時計回りの矢印を書きましょう。
逆に,$f”(x)$ がプラスのところでは接線の傾きは増加していくので,反時計回りの矢印を書きましょう。

解答が長い場合,複数のステップに分解して自分の理解が浅い部分を特定しましょう。

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分野: 極限,微分  レベル: 基本公式