2015/08/14

絶対値を含む関数のグラフの3通りの書き方

分野: いろんな関数  レベル: 入試対策

絶対値を含む関数のグラフの書き方を3通り解説します。

絶対値の中身で場合分けする方法

中身の符号で場合分けすることで絶対値を外す方法です。絶対値の処理の定石です。

例題1(一次関数の絶対値):
$y=|x-3|$ のグラフを書け。

絶対値関数のグラフ

解答

$x-3\geq 0$ のとき,つまり $x\geq 3$ のとき,$y=x-3$
$x-3 < 0$ のとき,つまり $x < 3$ のとき,$y=-x+3$
よって,$y=x-3\:(x\geq 3)$ と $y=-x-3\:(x < 3)$ のグラフをつなぎ合わせれば $y=|x-3|$ のグラフが書ける。


メリット:絶対値がいくつもあったり,絶対値の中に絶対値があるような複雑な関数にも使える,迷ったらコレ
デメリット:丁寧に場合分けするのはめんどう

負の部分を折り返す方法

$|f(x)|=\begin{cases}f(x) &f(x)\geq 0\\-f(x)& f(x) <0\end{cases}$
なので,$y=|f(x)|$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを書いて,$x$ 軸より下側にある部分を $x$ 軸に関して折り返すことで書けます。

例題2(二次関数の絶対値):
$y=|x^2-2x-1|$ のグラフを書け。

二次関数の絶対値

解答

ただの二次関数 $y=x^2-2x-1$ のグラフを書くのは難しくない。平方完成すると $y=(x-1)^2-2$ なので,この二次関数の頂点は$(1,-2)$

この二次関数のグラフを書いて $x$ 軸より下側にある部分を折り返せばよい。


メリット:場合分けしなくてよいので簡単
デメリット:基本的に $y=|f(x)|$ というタイプにしか使えない

maxと見る方法

$\max\{a,b\}$ は $a$ と $b$ のうち大きい方という意味です。任意の実数 $a$ に対して $|a|=\max\{a,-a\}$ です。

$|f(x)|=\max\{f(x),-f(x)\}$ なので,$y=|f(x)|$ のグラフは $y=f(x)$ と $y=-f(x)$ のグラフを両方書いて大きい方をつなげば書けます。

$|f(x)|+|g(x)|\\=\max\{f(x)+g(x),f(x)-g(x),-f(x)+g(x),-f(x)-g(x)\}$
なので,$y=|f(x)|+|g(x)|$ のグラフは絶対値を含まない関数のグラフを四つ書いて一番大きい物をつなげば書けます。

例題3(一次関数の絶対値の和):
$y=|2x-1|+|x+2|$ のグラフを書け。

絶対値の和のグラフ

解答

$f(x)=2x-1,g(x)=x+2$ とおく
$y=f(x)+g(x)=3x+1$
$y=f(x)-g(x)=x-3$
$y=-f(x)+g(x)=-x+3$
$y=-f(x)-g(x)=-3x-1$
という四つの一次関数のグラフの一番上にある部分をつなげばよい。


メリット:区分線形関数への理解が深まる
デメリット:$\displaystyle\sum_{i}|f_i(x)|$ という形の関数にしか使えない

連続性について

連続関数は絶対値を取っても連続関数です。実際,例題1〜例題3のグラフは全てちぎれている部分はありませんでした。

この手の問題で自分の書いたグラフに不連続な部分があったら計算ミスを疑いましょう(特に一つ目の方法は誤って不連続なグラフを書きやすい)。

絶対値のグラフがちぎれていたり $x$ 軸より下側にはみ出ている答案は許せませんね。

Tag: 数学1の教科書に載っている公式の解説一覧

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