関数方程式の解き方のコツ〜全射と単射〜

更新 2021/03/07

全射と単射

行き先の候補となるどんな元 $y$ を持ってきても $f(x)=y$ となる $x$ が存在するとき， $f(x)$ は全射であると言う。
「 $f(x)=f(y)$ なら $x=y$ 」が成立するとき， $f(x)$ は単射であると言う。

このページでは，全射・単射のイメージ，具体例，関数方程式への応用を紹介します。全射，単射は高校数学では扱わず，専門用語っぽくてとっつきにくいですが，イメージを理解すれば難しくありません。

全射のイメージと具体例

行き先の候補となるどんな元 $y$ を持ってきても $f(x)=y$ となる $x$ が存在する性質を全射と言います。ここでいう「行き先の候補」は状況によりますが，例えば，実数全体 $\mathbb R$ や有理数全体 $\mathbb Q$ です。

全射は「行き先を全て埋め尽くす関数」というイメージです。

例

1次関数 $f(x)=ax+b\:(a\neq 0)$ は全射。

なぜなら，任意の実数 $y$ に対して， $x=\dfrac{y-b}{a}$ とおけば $f(x)=y$ となるから。

例

放物線 $f(x)=x^2$ は（実数全体で考えると）全射でない。

なぜなら， $y=-1$ とすると，どんな実数 $x$ を持ってきても $f(x)=y$ とできないから。

単射のイメージと具体例

$f(x)=f(y)$ なら $x=y$ が成立するとき， $f(x)$ は単射であると言います。対偶を取ると， $x\neq y$ なら $f(x)\neq f(y)$ と言うこともできます。

単射は「行き先がかぶらない関数」というイメージです。全射よりも分かりやすいと思います。

例

1次関数 $f(x)=ax+b\:(a\neq 0)$ は単射。

実際， $f(x)=f(y)$ のとき $ax+b=ay+b$ となり， $x=y$ となる。

例

三角関数 $f(x)=\sin x$ は単射でない。

なぜなら， $x=0,y=\pi$ とすると， $f(x)=f(y)=0$ だが $x\neq y$ である。

注意：例えば， $\sin x$ は $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ の区間で考えれば単射になる。つまり，考える定義域，終域によって全射性，単射性は変わってくる。以下で扱う関数方程式の文脈では，多くの問題で定義域と終域が一致しており，実数全体または有理数全体となっている。そこで以下では定義域と終域が共に実数全体，または共に有理数全体の場合であることを暗黙の了解とする。

関数方程式への応用

関数方程式は，数学オリンピックで頻出の分野です。

参考：コーシーの関数方程式の解法と応用

関数の全射，単射は関数方程式を解く際に強力な武器になります。

（1）関数方程式から全射性または単射性を示すのは比較的容易である

（2）全射性，単射性から，もとの関数についての様々な性質が導ける

（1）関数方程式から全射性または単射性を示す

様々なパターンがありますが，たとえば以下の3つの事実は覚えておきましょう。

1次関数が全単射（全射かつ単射）であること
$f(g(x))$ が全射→ $f(x)$ が全射
$f(g(x))$ が単射→ $g(x)$ が単射

（証明は定義に従えば簡単です）

例

$f(f(x))=x+5$ という関数方程式から $f(x)$ は全単射であることが分かる。

（2ー1）全射だと嬉しい

全射の定義の $y$ を自分で好きに決めることができるので，関数方程式を変形できます。特に， $y=0$ とする場合が多いです。

例

$f(f(x))=f(x)+2f(0)$ という関数方程式において， $f(x)$ が全射なら， $f(a)=0$ となる $a$ が存在するので，もとの関数方程式に $x=a$ を代入すると $f(0)=2f(0)$ より $f(0)=0$ が分かる。

（2−2）単射だととても嬉しい

関数が単射だと $f$ を外すことができます。

例

$f(f(x))=f(x+x^3)$ という関数方程式において， $f(x)$ が単射なら， $f(x)=x+x^3$ が分かる。

数オリの問題に挑戦

2002 IMO Shortlist からです。

問題

定義域が実数全体であり，出力も実数であるような関数 $f$ であって，任意の実数 $x,\:y$ に対して以下を満たす関数を全て求めよ。

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

方針

関数が全射であることを証明して，それを利用します。

解答

任意の実数 $x,y$ に対して関数方程式が成立するので，自分の好きな $x,y$ を代入しても成り立つ。

そこで，任意の実数 $x$ に対して， $y=-f(x)$ とおいて関数方程式に代入すると，

$f(0)-2x=f(f(-f(x))-x)$

となるので， $f(x)$ は全射。なぜなら， $x$ が実数全体を動くとき，左辺は実数全体を動くので， $f$ の値域は実数全体。

よって， $f(a)=0$ となる $a$ が存在するので，もとの関数方程式に $x=a$ を代入する：

$f(y)=2a+f(f(y)-a)$

ここで， $z=f(y)-a$ をひとかたまりと見る。 $f$ が全射なので任意の $z$ に対して $z=f(y)-a$ を満たす $y$ が存在することに注意すると，任意の実数 $z$ について，

$z+a=2a+f(z)$ ，つまり $f(z)=z-a$ が得られる。

よって，解の候補としては傾きが $1$ の一次関数 $f(x)=x-A\:(A$ は任意の実数)のみ。

実際これをもとの関数方程式に代入すると，解となっていることが確認できる。

関数方程式の問題を見たら，関数の単射性か全射性が示せないか考えるとよいです。

Tag:各地の数オリの過去問

全射かつ単射な関数を全単射といいます。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！