2015/08/29

xlogxの極限,グラフ,積分など

分野: いろんな関数  レベル: 入試対策

大学入試で頻出の関数 $y=x\log x$ について,重要事項を整理しました。

xlogxの極限

$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0$

$0\times -\infty$ の不定形です。僕は「対数関数よりも多項式のほうが影響力が強い」と覚えています。この公式の二通りの証明を解説します。

証明1

$x=\dfrac{1}{y}$ とおくと,
$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\
=\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{1}{y}\log \dfrac{1}{y}\\
=\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{-\log y}{y}=0$

ただし,最後に「対数関数より多項式のほうが早く発散する」ことを用いました。→指数関数の極限と爆発性


ロピタルの定理を認めればこんな証明も。

証明2

$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\log x}{\frac{1}{x}}\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\
=\displaystyle\lim_{x\to +0}(-x)\\
=0$

xlogxの微分

$(x\log x)’=\log x+1$

覚える必要はありません。積の微分公式を使うだけです。

証明

$(x\log x)’=x\cdot\dfrac{1}{x}+1\cdot \log x=1+\log x$

y=xlogxのグラフ

$y=x\log x$ のグラフの概形は覚えておきましょう。

y=xlogxのグラフ

(グラフの書き方)
$f(x)=x\log x$ の微分は $1+\log x$ なので,
$0 < x < \dfrac{1}{e}$ で減少,$\dfrac{1}{e} < x$ で増加。

これと $\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=0$,$f(\dfrac{1}{e})=-\dfrac{1}{e}$ に注意するとグラフは図のようになる。

xlogxの不定積分

$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$

覚える必要はありません。部分積分を使うだけです。

(導出)
$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\
=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$

y=xlogxのグラフの形,なんか好きです。
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