2014/04/06

Weitzenbockの不等式

分野: 幾何不等式  レベル: 数学オリンピック

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a, b, c$,面積を $S$ とおくとき以下の不等式が成立する:
$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$


これをWeitzenbockの不等式といいます。

数学オリンピックでは幾何不等式を証明させる問題がしばしば出題されます。Weitzenbockの不等式は幾何不等式の簡単な例題になっています。実際に1961年国際数学オリンピックハンガリー大会で上記の不等式を証明せよという問題が出題されています。

このページではWeitzenbockの不等式を2通りの方法で証明します。
1:ヘロンの公式を用いた素直な方法(実用的)
2:ナポレオン三角形を用いたエレガントな方法(観賞用)

ヘロンの公式を用いた証明

方針:不等式を三角形の各辺の長さ $a, b, c$ のみで表してから3変数の不等式を代数的に証明する,というのが幾何不等式証明のもっとも基本的なパターンです。三角形の面積を三辺の長さで表すといえばヘロンの公式が思いつきます。

証明

ヘロンの公式より,
$S^2=\dfrac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
なので,証明すべき不等式は以下と同値:
$(a^2+b^2+c^2)^2 \\\geq 48\times \dfrac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
両辺を展開して整理すると,証明すべき不等式はいかのように同値変形していける:
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\ \geq -3(a^4+b^4+c^4)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$a^4+b^4+c^4-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 0$
$\dfrac{1}{2}\{(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\}\geq 0$
この最後の不等式は明らかに成立する。
よって,Weitzenbockの不等式が示された。

(補足)

ナポレオン三角形を用いた証明

方針:辺 $PR$ の長さを求めるとなんとWeitzenbockの不等式が証明できます。余弦定理を用いて $PR$ の長さを求めるために $AP, AR$ の長さを求めます。

証明

ナポレオン三角形

(三角形 $ABC$ の内側の向きに)三角形 $ABD, BCE, CAF$ が正三角形となるように点 $D, E, F$ を取る。また,3つの正三角形の重心を $P, Q, R$ とおく(図の赤い点)。
重心は中線を $2:1$ に内分するので,$AP=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{c}{\sqrt{3}}$
同様に,$AR=\dfrac{b}{\sqrt{3}}$
また,$\angle PAR=|A-60^{\circ}|$
よって,三角形 $APR$(青い三角形)に余弦定理を用いて $PR$ が求まる:
$PR^2=\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}-\dfrac{2bc}{3}\cos (A-60^{\circ})\\
=\dfrac{1}{3}(b^2+c^2-bc\cos A-\sqrt{3}bc\sin A)\\
=\dfrac{1}{3}\left\{b^2+c^2-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}-2\sqrt{3}\times \dfrac{1}{2}bc\sin A\right\}\\
=\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S)$
$PR^2\geq 0$ なのでWeitzenbockの不等式が証明された。

(補足)三角形 $PQR$ のことをナポレオン三角形といいます。上の証明より,$PR$ の長さが $a, b, c$ の対称式となることが分かったので,$PQ, QR$ も同様に表わされ $PQ=QR=RP$ となります。つまり,ナポレオン三角形は正三角形であることが証明されました。


ちなみに,Weitzenbockの不等式の一般形(より強い形の不等式)として,
Hadwigerの不等式やPedoeの不等式が知られています。
→Hadwigerの不等式

ナポレオンの定理とWeitzenbockの不等式が同時に証明できました!

Tag: 幾何不等式の解法パターンまとめ
Tag: とにかく美しい数学公式まとめ
Tag: 国際数学オリンピックの過去問

分野: 幾何不等式  レベル: 数学オリンピック