2015/10/22

ベクトル方程式の公式一覧

分野: 座標,ベクトル  レベル: 入試対策

ベクトル方程式の公式をまとめました。全て丸暗記する必要はありませんが,◯◯のベクトル方程式は?と聞かれたときにすぐに立式できるようになっておきましょう。

直線のベクトル方程式

  • 二点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ を通る直線のベクトル方程式は,
    $\overrightarrow{p}=t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{a}$ を通り,方向ベクトルが $\overrightarrow{u}$ であるような直線のベクトル方程式は,
    $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}$
  • $\overrightarrow{a}$ を通り,法線ベクトルが $\overrightarrow{n}$ であるような直線のベクトル方程式は,
    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0$
  • 線分 $AB$ の垂直二等分線のベクトル方程式は($A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$ として)
    $(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \left(\overrightarrow{p}-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)=0$
  • 中心が $\overrightarrow{a}$ である円上の点 $\overrightarrow{b}$ における接線のベクトル方程式は,
    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$

平面のベクトル方程式

  • 三点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$ を通る平面のベクトル方程式は,
    $\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}$
  • $\overrightarrow{a}$ を通り,法線ベクトルが $\overrightarrow{n}$ であるような平面のベクトル方程式は,
    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0$

円,球のベクトル方程式

  • 二次元平面において,中心 $\overrightarrow{a}$ で半径 $r$ の円のベクトル方程式は,
    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r$
  • 三次元空間において,中心 $\overrightarrow{a}$ で半径 $r$ の球面のベクトル方程式は,
    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r$
  • 二次元平面において,二点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ を直径の両端とする円のベクトル方程式は,
    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$
  • 三次元空間において,二点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ を(一つの)直径の両端とする球面のベクトル方程式は,
    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$
    →球面の方程式のいろいろな表現と具体例

楕円,双曲線のベクトル方程式

  • 二点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ を焦点とし,焦点からの距離の和が $2r$ である楕円のベクトル方程式は,
    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=2r$
  • 二点 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ を焦点とし,焦点からの距離の差が $2r$ である双曲線のベクトル方程式は,
    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=\pm 2r$
他にも追加すべきものがあればご一報ください。

Tag:数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧

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