2014/02/19

ベクトルの定番問題の公式(面積比)

分野: 座標,ベクトル  レベル: 入試対策

ベクトルと面積比

三角形 $ABC$ 内に点 $X$ があり, $p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$
が成立するとき,面積比は
△ $XAB$:△ $XBC$:△ $XCA=r:p:q$

この問題は頻出なので結果をそのまま覚えておくとよいでしょう。

公式の導出

証明

$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=0$ より,始点を $A$ に変換すると,
$\begin{align*}\overrightarrow{AX}&=\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\\&=\frac{q+r}{p+q+r}\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}\end{align*}$
$\dfrac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{q+r}$ は線分 $BC$ を $r:q$ に内分する点なので,△ $XAB$:△ $XCA=r:q$ が分かる。対称性より残りも同様。

特に $p=q=r$ のときは,点 $X$ は三角形 $ABC$ の重心と一致します。

3次元への拡張

上記と同様の議論を四面体に適用することにより以下の公式が得られます:

四面体 $ABCD$ 内に点 $X$ があり,
$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}+s\overrightarrow{XD}=0$
が成立するとき,四面体の体積比は
$XABC:XBCD:XCDA:XDAB=s:p:q:r$


Tag: センター試験にも役立つ即効性の高い公式まとめ
Tag: 三角形の面積を求める公式まとめ

分野: 座標,ベクトル  レベル: 入試対策