2014/07/09

ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例

分野: 線形代数  レベル: 大学数学

因数定理を用いたヴァンデルモンド行列式の証明及び応用例を解説します。
前提知識として行列式が必要です。→行列式の3つの定義と意味

ヴァンデルモンド行列

ヴァンデルモンド行列とは,一列目に $1,x_1,x_1^2,\cdots,x_1^{n-1}$ 二列目に $1,x_2,x_2^2\cdots,x_2^{n-1}$(以下同様)が格納された行列です。

・ $n=2$ の場合
$V_2=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
x_1 & x_2
\end{pmatrix}$
行列式は $\det V_2=x_2-x_1$

・ $n=3$ の場合
$V_3=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3\\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{pmatrix}$
行列式はサラスの公式を用いて求めると,$\det V_3=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$

よって,大きさ $n$ のヴァンデルモンド行列の行列式は
$\det V_n=\displaystyle\prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i)$
と予想できます(この式の右辺は差積と呼ばれる量です→差積の意味と性質)。次にこの公式を証明してみます。

因数定理を用いたヴァンデルモンド行列式の証明

帰納法とラプラス展開を用いて証明することもできますが,ここでは因数定理を用いたエレガントな証明を解説します。

証明

ヴァンデルモンド行列の行列式 $\det V_n$ は変数 $x_1, x_2,\cdots, x_n$ に関する多項式である。行列式の性質「 $2$ つの列が同じなら行列式は $0$ 」より $x_1=x_2$ のときは行列式が $0$ となるので因数定理より $\det V_n$ は $x_2-x_1$ を因数に持つ。
同様にして $\det V_n=f(x)\displaystyle\prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i)$ であることが分かる。

あとは $f(x)=1$ を示せば良い。

行列式の定義 $\det A_n=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}$
より $\det V_n$ は $x_1, x_2,\cdots, x_n$ に関して $\dfrac{1}{2}n(n-1)$ 次の斉次式である。よって $f(x)$ は定数:

$\det V_n=C\displaystyle\prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i)$

あとは $x_2x_3^2x_4^3\cdots x_{n}^{n-1}$ (対角線上の数を掛けあわせたもの,$\sigma$ が恒等置換に対応)の係数を比較すれば $C=1$ となる。

ヴァンデルモンド行列の応用

ヴァンデルモンド行列は数学的に美しいだけでなくラグランジュ補間の礎となっている定理の証明にも役立ちます:

定理:$n$ 点$(x_i,y_i):(i=1,2,\cdots n$,$x_i$ は互いに異なる)を通る $n-1$ 次以下の関数はただ1つ。

証明

$n-1$ 次以下の関数を $y=a_0+a_1x\cdots+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}$ と置く。
与えられた $n$ 点を通るとき,それぞれの値を代入して,$n$ 本の式を得る:
$y_i=a_0+a_1x_i\cdots+a_{n-2}x_i^{n-2}+a_{n-1}x_i^{n-1}$
この $n$ 本をまとめてかくと,
$\overrightarrow{y}=V_n^{\mathrm{T}}\overrightarrow{a}$
ただし,$\overrightarrow{y},\overrightarrow{a}$ は $y_i, a_i$ を縦に並べたベクトルで,$V_n^{\mathrm{T}}$ はヴァンデルモンド行列の転置。
よって $\det V_n^{\mathrm{T}}\neq 0$ なら逆行列が存在して係数 $\overrightarrow{a}$ が一意に存在する。
実際 $x_i$ たちは異なるので先ほどの公式より $\det V_n\neq 0$ であり,転置行列の行列式はもとのと等しい($\det V_n=\det V_n^{\mathrm{T}}$)ので $\det V_n^{\mathrm{T}}\neq 0$

行列式に関する様々な性質を理解していないと読みきれない記事ですが,非常に美しい!
分野: 線形代数  レベル: 大学数学