2014/04/10

中線定理の3通りの証明

分野: 平面図形  レベル: 基本公式

中線定理

中線定理:
三角形 $ABC$ において,辺 $BC$ の中点を $M$ とおくとき,
$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

中線定理の使用例

証明の前にまずは使用例を紹介します。

例題

$AB=4, BC=6, CA=5$ のとき $AM$ の長さを求めよ。

解答

中線定理より,$4^2+5^2=2(AM^2+3^2)$
よって $AM=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$

このように,「 $AB,AC,BC,AM$ の4つの情報のうち3つが分かれば残りの1つも簡単に分かる」というのが中線定理の威力です。

中線定理について

教科書にも載っている中線定理(パップスの中線定理)ですが,正弦定理や余弦定理などの花型公式と比べるとやや地味な感じがします。しかし,中線定理は様々な手法で証明することができるので,図形の証明問題のよい題材になっています。

このページでは中線定理の証明を3通り紹介します。

1:余弦定理による方法
2:ベクトルによる方法
3:座標平面による方法

証明1は発想を知らないと少し難しいかもしれませんが,重要な考え方です。証明2と3はベクトルや座標平面に慣れていれば機械的な計算で証明することができます。

証明1:余弦定理による方法

方針:$\angle AMB+\angle AMC=180^{\circ}$ であることと余弦定理を用いて辺の関係式を導出します。

証明

三角形 $AMB$ に余弦定理を用いると,
$\cos \angle AMB=\dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM\cdot BM}$
同様に,三角形 $AMC$ に余弦定理を用いると,
$\cos \angle AMC=\dfrac{AM^2+CM^2-AC^2}{2AM\cdot CM}$
$\cos \angle AMB=-\cos \angle AMC$ と $BM=CM$ より,
$AM^2+BM^2-AB^2=-AM^2-BM^2+AC^2$
これを整理すると中線定理となる。

非常に重要な考え方なので,この証明方法はまるごと覚えることをおすすめします!

証明2:ベクトルによる方法

方針:ベクトルの計算で証明する場合は始点をどこに取るかによって計算の複雑さが大きく変わってきます。この場合 $M$ を始点に取ると計算が楽になります。

証明

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{b}$ とおくと,$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{-b}$ となる。
$AB^2+AC^2=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2+|-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2\\
=2|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}|^2\\
=2AM^2+2BM^2$

$\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MC}$ なので計算が楽です。一般に,中点や外心をベクトルの始点に取ると計算が楽になる場合が多いです。

証明3:座標平面による方法

方針:ベクトルによる証明とほぼ同じですが,こちらも座標の取り方で計算の大変さが変わってきます。 $M$ を原点に取ると簡単に示せます。

中線定理の証明

証明

$A(a, b), B(-c, 0), C(c,0)$ と座標を設定する。
中線定理の左辺 $AB^2+AC^2$ は,
$(a+c)^2+b^2+(a-c)^2+b^2\\
=2a^2+2b^2+2c^2$
一方中線定理の右辺は,
$2(AM^2+BM^2)=2(a^2+b^2+c^2)$
となり両辺は一致する。

ベクトルと同様,中点や外心を座標平面の原点にとるとうまくいく場合が多いです。

図形の証明問題

一般的に,図形の性質に注目して初等幾何で証明するのは発想力が必要になります。一方,ベクトルや座標平面による証明方法では機械的な計算で証明することができますが,角度に関する条件を扱うのは難しいため万能ではありません、一長一短です。
どの手法を用いるのか臨機応変に判断しなければいけません。

中線定理の応用例として三角形における距離の二乗の和の公式もどうぞ。

ベクトルと座標平面は本質的に似ています。ちなみに,中線定理を拡張したものにスチュワートの定理があります。

Tag: 有名な定理を複数の方法で証明
Tag: 数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧

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