有理数と無理数の稠密性

$\dfrac{1}{b-a}< N$ を満たすような十分大きい整数 $N$ を取ってくる。

ここで，$\dfrac{n}{N}\:$ （$n$ は整数）と表すことができる数について考える。このような数は有理数であり，幅 $\dfrac{1}{N}(< b-a)$ ごとに等間隔で存在する。よって，このような数の中に $a$ より大きく $b$ より小さいものが必ず存在する。

$\sqrt{2}$ は無理数（→ルート２が無理数であることの４通りの証明）なので，$\sqrt{2}$ ＋有理数，という形で表せる数は無理数。

また，有理数の稠密性と同様に（有理数を $\sqrt{2}$ 平行移動しただけなので）$\sqrt{2}$ ＋有理数，という形で表せる数全体の集合は稠密集合である。

無理数全体の集合の部分集合が稠密性を持つので無理数全体も稠密集合である。

$\sqrt{2}$ ×有理数，という形で表せる数全体の集合を考えても証明1とほぼ同様に証明できる（ただし $0$ 付近について注意が必要）。

実際，有理数の稠密性より，任意の実数 $a,b~(a<b)$ に対して，$$\dfrac{a}{\sqrt{2}} < r < \dfrac{b}{\sqrt{2}}$$ を満たす有理数 $r$ が存在する。

つまり，$a<x<b$ を満たす「無理数または $0$ である」$x$ が存在する。そして，$a<0<b$ の場合には，もう一度有理数の稠密性を使って $$0 < r' < \dfrac{b}{\sqrt{2}}$$ を満たす有理数 $r'$ を持ってきて $\sqrt{2}r'$ を考えることで，結局 $a<x<b$ を満たす無理数 $x$ が存在することがわかる。

無理数 $x_0$ を1つ取ってくる。

$m+\{nx_0\}$ （$m$ は整数，$n$ は正の整数，$\{X\}$ は $X$ の小数部分）という形で表せる数は無理数であり，

このような数全体の集合はクロネッカーの稠密定理より稠密集合である。

無理数全体の集合の部分集合が稠密性を持つので無理数全体も稠密集合である。