2014/07/25

三角関数の積の積分と直交性

分野: 積分  レベル: 最難関大学

三角関数の積の積分は積和公式で和に直すことで積分できる。

具体例

三角関数の積の積分で重要なのは定積分ですが,とりあえず不定積分をやってみます。

$\displaystyle\int\cos 3x \cos 4xdx$
積和公式により
$\displaystyle\int\cos 3x\cos 4xdx=\displaystyle\int\dfrac{1}{2}(\cos 7x+\cos x)dx\\
=\dfrac{1}{14}\sin 7x+\dfrac{1}{2}\sin x+C$

三角関数の積和公式については,三角関数の基本公式一覧の最後の部分を参考にしてください。丸覚えしてもよいですが,その場でもすぐに導出できるようになっておきましょう。

ちなみに三角関数の3つ以上の積も繰り返し積和公式を使えば最終的に三角関数の和に直せるので積分できます。(計算が複雑なので問題として見たことはありませんが)

三角関数の積の定積分

三角関数の積の積分の中でも,区間幅 $2\pi$ の定積分が非常に重要です。

$m$ と $n$ が異なる自然数のとき,
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx=0\\
\int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx=0\\
\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=0\\
\int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx=0$

積分区間が $0$ から $2\pi$ となっていますが,$-\pi$ から $\pi$ などとしても同じ公式が成り立ちます。(積分区間幅が $2\pi$ ならなんでもよい。)

$4$ つ別々に公式として覚えるのではなくて「異なる三角関数の積を一周期にわたって積分すると $0$ になる」と覚えるとよいでしょう。

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin 3x \cos 2xdx$
積和公式により
$\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin 3x\cos 2xdx=\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}(\sin 5x+\sin x)dx\\
=0$
(三角関数の一周期にわたる積分は $0$)

三角関数の直交性

上記の公式は「異なる三角関数は直交している」ことを表しています。関数どうしが直交するというのは奇妙な表現ですが,大学で学ぶ関数解析できちんと定義されます。

ベクトルが直交→内積が $0$ →成分の積の和が $0$

ですが,関数も成分の数が無限個あるベクトルとみなすことができるのです!

関数が直交→「内積」が $0$ →積の積分が $0$

この定義によると区間を $0$ から $2\pi$ までと考えたときには異なる三角関数どうしが直交しているということになります。
この事実は大学で学ぶフーリエ級数展開の基礎となっているので,大学の先生も関連した入試問題を出したくなるのではないかと思います。

実は関数はベクトルの一種です!

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