2014/04/13

三角関数の基本公式一覧

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

三角関数の基本的な公式一覧と,それにまつわる発展的な公式を紹介していきます。

赤字の公式:重要なので絶対覚えるべし
黒字の公式:素早く導出できるなら覚えなくてもいいけど覚えておくと便利

加法定理

1:$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
2:$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
3:$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
4:$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
5:$\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$
6:$\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}$

マイナスの加法定理はプラスの加法定理から導出できます。

→加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法)

発展

タンジェントの加法定理に関して3変数バージョンの美しい公式もあります。
→タンジェントの美しい関係式

倍角,三倍角,半角の公式

倍角の公式

7:$\sin 2x=2\sin x\cos x$
8:$\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$
9:$\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

加法定理から瞬時に導くことができるので倍角の公式は覚える必要はありません。


三倍角の公式

10:$\sin 3x=-4\sin^3 x+3\sin x$
11:$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$

三倍角の公式は導くのに時間がかかるので覚えておいてもよいでしょう。

発展

三倍角の公式を積の形に変形した公式もあります。
→三倍角の公式と変形三倍角の公式

四倍角の公式も同様にして作り出すことができます。
→四倍角の公式の証明と考察


半角の公式

12:$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$
13:$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$
14:$\tan^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

半角の公式は倍角の公式から導くことができます。導出が面倒な人は覚えておく価値はあります。 $\tan$ の公式は $\sin$ と $\cos$ から導出できるので覚える必要はありません。

応用例

半角の公式は三角関数の二乗を一乗に変換する重要な公式です。三角関数の積分などでも頻繁に用いられます。
→サイン分の1,コサイン分の1の積分の2通りの方法

和積,積和公式

和積公式

15:$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
16:$\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$
17:$\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
18:$\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}$


積和公式

19:$\sin x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}$
20:$\sin x\sin y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x-y)-\cos(x+y)\}$
21:$\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}$

和積,積和公式ともに加法定理を用いて導出する練習を何度も行い,必要な公式をできるだけ素早く導出できるようになっておきましょう。7つとも覚えるのはかなりきついです。教科書を見ながら導出を繰り返しているうちに公式の規則性を感じ取ることができると思います。

発展

和積,積和公式の三変数バージョンも存在します。数学オリンピックなどの難しい図形の問題でしばしば応用される公式です。
→三角形の内角における和積公式


追記:三角関数の合成公式も重要でした。三角関数の合成公式の証明と応用

三角関数の加法定理は基本の3つから全て高速で導出できるようになってくのが望ましいです。
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