三重対角行列の特殊形の固有値は綺麗

同じサイズの単位行列を $I$ とすると，

$T(a,b)=aI+bT(0,1)$

となる。

よって，$T(0,1)\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}$ のとき，

$T(a,b)\overrightarrow{x}=(a+b\lambda)\overrightarrow{x}$

となる。

$T(0,1)\overrightarrow{x_i}=\lambda_i\overrightarrow{x_i}$

を証明すればよい。

つまり，

• $x_{i,2}=\lambda_ix_{i,1}$

• $x_{i,j-1}+x_{i,j+1}=\lambda_ix_{i,j}\:(j=2,\cdots,n-1)$

• $x_{i,n-1}=\lambda_ix_{i,n}$

を確認すればよい。

1つめは $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ から分かる。2つめと3つめは三角関数の和積公式から分かる（$x_{i,n+1}=0$ より，3つめは2つめの特殊ケースとみなせる）。