いろいろな三角不等式（絶対値，複素数，ベクトル）

実数 $x$ の「大きさ」は絶対値で測るのが自然です。実際，以下の不等式が成立します。

厳密に証明しようとすると意外と場合分けが煩雑です。証明の概略を以下に示します。

複素数 $z=a+bi$ の大きさは絶対値 $\sqrt{a^2+b^2}$ で測るのが自然です。実際以下の不等式が成立します。

証明は愚直に成分計算で行えます。

ベクトル $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ の大きさは高校数学では $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ で測るのが一般的です。

実際以下の不等式が成立します。

• 証明は複素数の場合と同様に成分計算とコーシーシュワルツの不等式でできます。
• 実数の三角不等式は一次元ベクトルの三角不等式と同じものです。
• 複素数の三角不等式は二次元ベクトルの三角不等式と本質的に同じものです。
• 三次元をより高次元の $n$ 次元ベクトルに拡張しても三角不等式が成立します。
• ベクトルの長さを $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ で測るのではなくて，より一般的に $\sqrt[p]{a_1^p+a_2^p+a_3^p}$ で測ることもできます。実はそのときにも三角不等式が成立します（→ミンコフスキーの不等式とその証明）。

三角不等式で $x+y=X, x=-Y$ と置き直すと $y=X+Y$ となります：

$\|X\|-\|Y\|\leqq\|X+Y\|$

こちらも入試で頻出の形です。和のバージョンとまとめて覚えておきましょう：

もちろん実数，複素数，ベクトル，なんでも使えます。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT144では，この差バージョンも使う難しい問題も紹介しています。