転置行列の意味・重要な7つの性質と証明

「行と列を交換する」という操作を2回したらもとに戻るのでOK。

転置行列とトレースの定義からわかります。実際，$A$ のサイズを $n\times n$ とすると
$\mathrm{tr}\: A^{\top}=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ii}=\mathrm{tr}\: A$

行列式の定義より，

$\det A$ を展開したときの項は $4!=24$ 個あるが，例えば4次の置換 $$\sigma= \begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}$$

に対応する項として，$\mathrm{sgn} (\sigma) a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ が出てくる。

一方，$\det A^{\top}$ を展開したときも同様に24項出てくるが，$\sigma$ の逆置換： $$\sigma^{-1}= \begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}$$

に対応する項として，$\mathrm{sgn} (\sigma^{-1})a_{41}a_{22}a_{13}a_{34}$ が出てくる。

ここで，ある置換とその逆置換の符号は等しいので，$\mathrm{sgn} (\sigma^{-1})=\mathrm{sgn} (\sigma)$ である。よって，上記の項は等しい。

他の項についても同様の議論が成り立つ。つまり， $\det A$ を展開したときの各項と $\det A^{\top}$ を展開したときの各項の間には1対1対応があり，対応する項の値は等しいことが分かる。

以上により転置行列の行列式はもとの行列の行列式と同じであることが証明された。

$A^{\top}$ の固有値 $\lambda$ は固有方程式 $\det(A^{\top}-\lambda I)=0$ の解である。

これを変形すると，

$$\det\{(A-\lambda I)^{\top}\}=0$$

ここで，性質3より行列式は転置しても変わらないので，

$$\det(A-\lambda I)=0$$

これは，$A$ の固有方程式なので，$A^{\top}$ と $A$ の固有値は同じ。

ランクが「1次独立な行ベクトルの最大本数」であり，かつ「1次独立な列ベクトルの最大本数」であること（→行列のランクの意味（８通りの同値な定義）の2と3） から以下のようにわかる：

$A$ のランク
=「$A$ において1次独立な行ベクトルの最大本数」
=「$A^{\top}$ において1次独立な列ベクトルの最大本数」
= $A^{\top}$ のランク

成分計算するのみ（行列積の成分表示に慣れる練習になる。よくわからない人はサイズが小さい場合で確認することを推奨）。

$A$ の列数（＝ $B$ の行数）を $n$ とおきます。

$(AB)^{\top}$ の $ij$ 成分は $AB$ の $ji$ 成分。つまり，$\displaystyle\sum_{k=1}^na_{jk}b_{ki}$

一方，$B^{\top}A^{\top}$ の $ij$ 成分は $\displaystyle\sum_{k=1}^nb_{ki}a_{jk}$ となり上式と一致する。

6において $B=A^{-1}$ とおくと，

$I=(A^{-1})^{\top}A^{\top}$

これは，$(A^{-1})^{\top}$ が $A^{\top}$ の逆行列であることを表している。

転置行列の性質を使って確認します。

$$P^{\top}=(A(A^{\top}A)^{-1}A^{\top})^{\top}$$

性質6より，上式は

$$(A^{\top})^{\top} ((A^{\top}A)^{-1})^{\top}A^{\top}$$

性質1と性質7より，上式は

$$A((A^{\top}A)^{\top})^{-1}A^{\top}$$

さらに性質1と性質6より，上式は

$$A(A^{\top}A)^{-1}A^{\top}$$

となり $P^{\top}=P$ がわかった。