行列のトレースのいろいろな性質とその証明

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$，$B^{\top}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{pmatrix}$ に対して

$$AB^{\top}=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}&a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{12}&a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}$$

である。対角成分の和は $$a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}$$ となり「対応する成分のかけ算の総和」になる。

4より，$\mathrm{tr}\:AB=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}=\mathrm{tr}\:BA$

特性方程式 $\det(\lambda I-A)=0$ について考える。

この左辺を展開したときの先頭の二項は，$\lambda^n-(\mathrm{tr}\:A)\lambda^{n-1}$ となる（分かりにくければ3×3の場合くらいでやってみるとよい）。

特性方程式の解が $A$ の固有値なので，解と係数の関係より6が示される。

$A$ のジョルダン標準形を $J$ とおくと，正則行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP=J$ となる。

• $J$ の対角成分には $A$ の固有値が並ぶので，$\mathrm{tr}\:J$ は $A$ の固有値の和。

• 5より，$\mathrm{tr}\:P^{-1}AP=\mathrm{tr}\:APP^{-1}=\mathrm{tr}\:A$

以上よりOK。