2015/06/13

テトリスのブロックの種類を数える問題

分野: 場合の数  レベル: 数学オリンピック

テトリスのブロックの種類を列挙してみます!数え上げのよい練習問題。

問題

問題1

4つの正方形を辺にそってつなげてできる図形は何種類か(テトリミノの数を数えよ)。

問題2

正方形の数が5つの場合は何種類か(ペントミノの数を数えよ)。

ただし,回転で重なるものは同じものとみなします(折り返しで重なるだけでは同じとはみなさない)。

4ブロックの場合は比較的簡単(1973年の一橋の入試問題!)ですが,5ブロックの場合は数オリの予選の前半とかで出そうなレベルです。

テトリミノ(テトロミノ)は全部で7種類

もれなく重複なく数えるために,最大直線の長さで場合分けして列挙していきます。

テトリミノは7種類

・最大直線の長さ4(1タイプ,1種類)
I字型(棒のやつ)しかない。

・最大直線の長さ3(2タイプ,3種類)
残り1つをどうくっつけるかで3種類。

・最大直線の長さ2(2タイプ,3種類)
長さ3の直線ができないように残り2個をくっつける方法を調べると3種類。

テトリミノは全部で7種類でした!

注:適当に列挙してたまたま7種類当たるのではダメダメです。このタイプの問題では全部調べてこれ以外ない!と言い切れるようになりましょう。

ペントミノは全部で18種類

いよいよ5ブロックの場合です!考え方はテトリミノの場合とほぼ同じですが,最大直線の長さが3のときが厄介なので後回しにします。

5ブロックの場合の列挙

・最大直線の長さ5(1タイプ,1種類)
I字型(棒のやつ)しかない。

・最大直線の長さ4(2タイプ,4種類)
残り1つをどうくっつけるかで4種類。

・最大直線の長さ2(1タイプ,1種類)
長さ3以上の直線を作らないようにつなげるのは1種類しかない。


ここから最大直線の長さが3のやつを列挙します。長さ3の棒を基準にして残り二つをどうつけるか数えます。全部で8タイプ12種類もあります!

5ブロックの場合2

・ $A$ の部分を使うやつ
2種類。

・ $B$ の部分を使うやつ
1種類。

・ $C$ の部分を使うやつ
1種類。

5ブロックの場合3

・ $A,B,C$ どれも使わないやつ
残り二つが両方とも上側にくるのが3種類,上と下に1つずつくっつくのが5種類。

ペントミノは全部で18種類でした!

数え上げに関する教訓

・一気に全部数えようとしてキツイ場合は,何かの特徴(上の例では最大直線の長さ)で場合分けして数えていくともれにくい。

・特徴で場合分けしてもなお種類がたくさんあるグループ(上の例ではペントミノ,長さ3の場合)については,さらに別の特徴に注目して場合分けするともれにくい。

ちなみにブロック6個の場合(ヘキサミノ)は60種類あるそうです。
分野: 場合の数  レベル: 数学オリンピック