2015/09/05

正接定理とその証明

分野: 三角比・三角関数  レベル: 入試対策

正接定理:三角形 $ABC$ において,
$\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}=\dfrac{a-b}{a+b}$


正接とはタンジェントのことです。役に立つ公式ではありませんが,けっこうきれいです。

正接定理

サインの定理(正弦定理):$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
コサインの定理(余弦定理):$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ など
があるのだから,タンジェントの定理(正接定理)もあって欲しいですよね。

安心して下さい,正接定理もあります!

ただ,全く役に立たないので高校数学では習いません。

正接定理の証明

正接定理の証明はよい練習問題になるので,時間のある人は答えを見る前に自力で考えてみてください!

証明

正弦定理より $a=\dfrac{\sin A}{\sin B}b$
これを用いて正接定理の右辺を変形する:
$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{\frac{\sin A}{\sin B}b-b}{\frac{\sin A}{\sin B}b+b}\\
=\dfrac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B}$

ここで,分母分子にそれぞれ三角関数の和積公式を適用すると,
$\dfrac{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}\\
=\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}$
となり正接定理の左辺と一致する。

正接定理の応用

正接定理が役立ちそうな問題を頑張って考えました。正弦定理を使うスタンダードな解答1よりもほんの少しだけ計算が楽な気がします。

例題

三角形 $ABC$ において,$A=105^{\circ}$,$B=15^{\circ}$,$b=1$ のとき $a$ を求めよ。

解答1:正弦定理より,$\dfrac{a}{\sin 105^{\circ}}=\dfrac{1}{\sin 15^{\circ}}$
ここで,$\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\sin 105^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(加法定理からも分かるし,値を覚えておくのもオススメ→覚えておくと便利な三角比の値)より,
$a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\
=\dfrac{1}{6-2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2\\
=2+\sqrt{3}$

解答2:正接定理より,$\dfrac{\tan 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}=\dfrac{x-1}{x+1}$
よって,$\dfrac{1}{\sqrt{3}}(x+1)=x-1$
$x=\dfrac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}\\
=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\
=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}\\
=2+\sqrt{3}$

簡単な公式で解ける問題をあえて変な定理を使って解くことでドヤることができます。
分野: 三角比・三角関数  レベル: 入試対策