最終更新:2017/01/31

接平面の方程式の求め方

分野: 座標,ベクトル  レベル: 大学数学

公式1:
曲面 $f(x,y,z)=0$ の $(x_0,y_0,z_0)$ における接平面の方程式は,
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
ただし,$A=f_x(x_0,y_0,z_0)$,$B=f_y(x_0,y_0,z_0)$,$C=f_z(x_0,y_0,z_0)$

公式2
曲面 $z=f(x,y)$ の $(x_0,y_0,z_0)$ における接平面の方程式は,
$z=A(x-x_0)+B(y-y_0)+z_0$
ただし,$A=f_x(x_0,y_0,z_0)$,$B=f_y(x_0,y_0,z_0)$

ただし,$f_x,f_y,f_z$ は偏微分を表します。

具体例

公式2を使う例題です(公式1も使い方はほとんど同じです)。

例題

曲面 $z=x^2+y^2$ の $(1,2,5)$ における接平面の方程式を求めよ。

解答

$x$ で偏微分すると,$f_x=2x$
$y$ で偏微分すると,$f_y=2y$

$(x,y,z)=(1,2,5)$ のとき,$f_x=2$,$f_y=4$
よって,求める接平面の方程式は,
$z=2(x-1)+4(y-2)+5$

公式1の導出

導出

表記簡略化のために $A=f_x(x_0,y_0,z_0)$,$B=f_y(x_0,y_0,z_0)$,$C=f_z(x_0,y_0,z_0)$ とおく。

曲面 $f(x,y,z)=0$ の $P(x_0,y_0,z_0)$ における法線ベクトルは,$(A,B,C)$ である。
(理由:二次元の場合は法線ベクトルの求め方と応用の記事末参照。三次元の場合も同様。)

よって、
$Q(x,y,z)$ が求める接平面上にある⇔
$\overrightarrow{PQ}$ と法線ベクトル $(A,B,C)$ が垂直⇔
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
となる。

公式2の導出

$g(x,y,z)=f(x,y)-z$ に公式1を適用すれば直ちに公式2を得ることができます。つまり,公式1は公式2よりも一般的なものです。

ただし,公式2については別の方法で理解することもできるので,紹介します。

別の理解

点 $(x_0,y_0,z_0)$ の近くでは,
$x$ が微小量 $\Delta x$ だけ増えると $z$ はおよそ $A\Delta x$ 増える。
$y$ が微小量 $\Delta y$ だけ増えると $z$ はおよそ $B\Delta y$ 増える。

よって,$(x_0,y_0)\to (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ に変化させると,関数の値は
$z\fallingdotseq z_0+A\Delta x+B\Delta y$
となる。

ここで,(きちんとした主張ではないが)$(x_0,y_0,z_0)$ の近傍ではもとの関数は接平面とほぼ一致するだろうと考えると,接平面の方程式は
$z=z_0+A(x-x_0)+B(y-y_0)$
となる。

本当は接平面を求める公式というより,接平面の定義と言った方が正確かもしれません。
分野: 座標,ベクトル  レベル: 大学数学