2014/08/19

対称式について覚えておくべき7つの公式

分野: 式の計算  レベル: 入試対策

以前の記事で「全ての対称式は基本対称式で表せる」という一般的な性質を紹介しました。→2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

この記事では対称式を基本対称式で表すときに覚えておくべき具体例とコツについて解説します。

二変数の対称式を基本対称式で表す

二変数 $x,y$ に関しての基本対称式は $x+y$ と $xy$ です。全ての対称式は $x+y$ と $xy$ で表すことができるのです。

二変数の対称式について覚えておくべき(または瞬時に作れるようになっておくべき)等式です。4つとも非常に重要な公式です。

公式1:$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
公式2:$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
公式3:$x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})$
公式4:$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$

公式1,2について:$x+y, xy$ の値が与えられたときに $x^n+y^n$ を求めよという問題は超頻出です。特に解と係数の関係を絡めて出題されることが多いです。 $n=2$ や $3$ のときは丸々覚えておきましょう。

公式3について:一般の $n$ に対しては公式3を覚えておいて帰納的に求めていきましょう。(公式3は $n-1, n-2$ の場合が求まれば $n$ の場合の $x^n+y^n$ が求まることを示している)

公式4について:$x-y$ は対称式ではありませんが,二乗すると対称式となるので基本対称式のみで表すことができます。 $x+y, xy$ が与えられたときに $x-y$ の値を求めよという問題も頻出なので覚えておきましょう。

三変数の対称式を基本対称式で表す

三変数 $x,y,z$ に関しての基本対称式は $S=x+y+z, T=xy+yz+zx, U=xyz$ の $3$ つです。全ての対称式は $S, T, U$ で表すことができるのです。

三変数の対称式について覚えておくべき(または素早く作れるようになっておくべき)等式です。

公式5:$x^2+y^2+z^2=S^2-2T$
公式6:$x^3+y^3+z^3=S^3-3ST+3U$

公式7:$x^n+y^n+z^n=K_n$ とおくと,$K_n=SK_{n-1}-TK_{n-2}+UK_{n-3}$

公式5について:これは$(x+y+z)^2$ の展開公式を移項するだけで簡単に導出できます。

公式6について:これは因数分解公式を用いれば簡単に導出できます!→因数分解公式(3つの立方和)
具体的には,
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
の右辺第二項に公式5を用いて整理すると導出できます。

公式7について:これは公式3の三変数バージョンです。入試レベルではほとんど必要にならない公式なので面白いなあと思うくらいで軽く流しておいてください。数学オリンピックレベルだとたまに活躍します。

対称なものはできるだけ対称なまま変形したいですね
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