2016/04/24

階乗,二重階乗,超階乗

分野: 式の計算  レベル: マニアック

  • 階乗:$n!$ は $1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたもの
  • 二重階乗:$n!!$ は一つおきにかけあわせたもの
  • 超階乗:$n\$$ は $n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたもの

階乗とは

(正の整数 $n$ に対して)$1$ から $n$ までの整数を全てかけあわせたものを $n$ の階乗(かいじょう)と言い,$n!$ で表します。

$1!=1$
$2!=2\times 1=2$
$3!=3\times 2\times 1=6$
$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

ただし,$0!=1$ と定義します。→0の階乗を1と定義する理由

また,高校範囲外ですが,正の整数でない値に対しても階乗のようなものを考えることができます。ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質

$n!$ は $n$ よりもはるかに大きい(指数関数よりも強い!)ということを意識しておきましょう。

二重階乗とは

階乗の一つ飛ばしバージョンを二重階乗と言います。$n!!$ と書きます。

$3!!=3\times 1=3$
$4!!=4\times 2=8$
$5!!=5\times 3\times 1=15$
$6!!=6\times 4\times 2=48$

二重階乗は,sinのn乗,cosのn乗の積分公式ウォリスの公式とその2通りの証明に登場します。

二重階乗を階乗で表す公式

$k$ を正の整数とします。

$(2k)!!=2^kk!$
$(2k-1)!!=\dfrac{(2k)!}{2^kk!}$

証明

$(2k)!!=2k\times (2k-2)\times \cdots \times 2$
右辺は全て偶数なので $2$ がくくり出せるので上式は,
$2^k \times k\times (k-1)\times \cdots \times 1=2^kk!$
となる。

また,$(2k-1)!!\times (2k)!!=(2k)!$ なので,
$(2k-1)!!=\dfrac{(2k)!}{2^kk!}$

超階乗とは

$n!$ の肩に $n!$ を $n!-1$ 個乗せたものを $n$ の超階乗と言い,$n\$$ で表します。

$1\$=1$
$2\$=(2!)^{(2!)}=4$
$3\$=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}$

$3\$$ は(少なくとも僕には)計算することができないくらい大きい量です。$4\$$ は $24$ が $24$ 個並ぶとんでもない量です。

超階乗,いったい何に使うんでしょうか??
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