錐体の体積に1/3がつくことの２通りの説明

底面積は $S=4h^2$

高さは $h$

また，一辺 $2h$ の立方体から同じ形の立体が六個取り出せるので，体積は

$$(2h)^3\div 6=\dfrac{4}{3}h^3$$

以上より，$V=\dfrac{1}{3}Sh$ が分かる。

底面からの距離が $t$ であるような平面で錐体を切ったときの断面積を $S(t)$ とする。

$\Delta t$ が十分小さいとき，底面からの距離が $t$ から $t+\Delta t$ の間にある部分の体積は $S(t)\Delta t$ とみなせるので，

$$V=\int_0^hS(t)dt$$

また，相似な図形の面積比は相似比の二乗に比例するので，

$$(h-t)^2:h^2=S(t):S$$

よって，$S(t)=\dfrac{(h-t)^2}{h^2}S$

以上より，

$$\begin{aligned} &V=\displaystyle\int_0^h\dfrac{(h-t)^2}{h^2}Sdt\\ &=\dfrac{S}{h^2}\left[-\dfrac{(h-t)^3}{3}\right]_0^h\\ &=\dfrac{S}{h^2}\dfrac{h^3}{3}\\ &=\dfrac{1}{3}Sh \end{aligned}$$