2015/02/22

数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

分野: まとめ

高校数学のラスボス,数3の教科書(新課程)に載っている公式(や定義など)を整理しました。

新課程になり数Cが消滅したせいで数3の分量が増えました。

平面上の曲線

・放物線の準線,焦点,標準形
 →放物線の準線・焦点と一般化
・楕円の焦点,標準形
・双曲線の焦点,標準形
・双曲線の漸近線
 →双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明
・二次曲線の平行移動
 →グラフの平行移動の証明と例
・二次曲線と直線
・二次曲線の離心率
◎円錐曲線
 →二次曲線の分類(四通りの方法)

・媒介変数表示
・サイクロイド
 →サイクロイドについて覚えておくべきこと
・極座標
 →直交座標と極座標(2次元)の変換とメリットの比較
・極方程式
・二次曲線の極方程式
 →二次曲線(楕円,放物線,双曲線)の極座標表示
・いろいろな曲線
 →媒介変数表示された有名な曲線7つ

複素数平面

・複素数平面に関する基本的な用語
・複素数の絶対値,定数倍,和,差
 →複素数の絶対値の定義といろいろな性質
・複素数の極形式
 →複素数平面における回転と極形式
・複素数の積と商
・ド・モアブルの定理
 →ドモアブルの定理の意味と証明
・ $1$ の $n$ 乗根
 →1のn乗根の導出と複素数平面

(複素数平面における)
・内分点と外分点
 →内分点,外分点の公式と証明
・垂直二等分線
・円,アポロニウスの円
・一般の点における回転
・二直線のなす角
・三点が同一直線上にある条件
・二直線が垂直に交わる条件
◎直線の方程式
 →複素数平面における直線の方程式
◎四角形が円に内接する条件

関数と極限

・分数関数
・一次分数関数のグラフ
 →一次分数関数のグラフと漸近線
・無理関数
・ $y=\sqrt{ax+b}$ のグラフ
 →無理関数とそのグラフの書き方
・逆関数
 →逆関数の3つの定義と使い分け
・合成関数

・無限数列,数列の極限
・収束,発散,振動
 →数列の発散,収束,振動の意味と具体例
・数列の極限と四則演算
・数列の極限と大小関係
 →はさみうちの原理の証明
・無限等比数列
・無限級数
・無限等比級数
 →無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

・関数の極限
・関数の極限と四則演算
・右極限,左極限
・指数関数,対数関数と極限
・三角関数と極限
・ $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$
・関数の連続性
 →関数の右極限,左極限と連続性
・区間、閉区間,開区間
 →開区間,閉区間の意味と関連する話題
・最大値の原理
・中間値の定理
 →中間値の定理の応用と多変数関数への拡張

微分

・微分可能と連続の関係
 →関数の連続性と微分可能性の意味と関係
・積の微分法
 →積の微分公式とその証明の味わい
・商の微分法
 →商の微分公式の証明と例題
・合成関数の微分法
 →合成関数の微分公式と例題7問
・逆関数の微分法
 →逆関数の微分公式を例題と図で理解する
・曲線の方程式と微分
・媒介変数で表された関数の微分

・三角関数の導関数
 →sinxの微分公式の3通りの証明
 →cosxの微分公式のいろいろな証明
 →tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明
・対数関数の導関数
・自然対数
 →自然対数の底に収束することの証明
・対数微分法
 →対数微分法のやり方と例題
・ $x^{\alpha}$ の導関数
・指数関数の導関数
 →指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明
・高次導関数
◎因数定理の拡張
◎テイラー展開
 →マクローリン展開

微分の応用

・接線,法線の方程式
・媒介変数で表された曲線の接線
・平均値の定理
・上に凸,下に凸
 →上に凸,下に凸な関数と二階微分
・変曲点
 →変曲点の意味といろいろな例
・第二次導関数と極大・極小

・微分の方程式・不等式への応用
・速度,加速度
・近似式(一次近似)
 →一次近似の意味とよく使う近似公式一覧
◎コーシーの平均値の定理
◎ロピタルの定理
 →ロピタルの定理の条件と例題

積分とその応用

・ $x^{\alpha}$ の不定積分
・三角関数の不定積分
・指数関数の不定積分
 →指数関数の積分と関連する公式
・ $f(ax+b)$ の不定積分
 →積分速度を上げる公式
・置換積分法
 →置換積分の公式の証明と例題
・部分積分法
・分数関数の不定積分

・定積分の置換積分法
・定積分の部分積分法
・定積分で表された関数
 →定積分で表された関数の微分の公式
・区分求積法
・定積分と不等式
◎サイン $n$ 乗の定積分
 →sinのn乗,cosのn乗の積分公式

・二曲線で囲まれた図形の面積
・楕円の面積
 →楕円の面積公式の3通りの導出
・座標軸まわりの回転体の体積
 →回転体の体積を求める公式
・曲線の長さ
 →弧長積分の公式の証明と例題
◎直線の回りの回転体の体積
 →傘型分割と斜回転体の体積
◎微分方程式の意味
◎簡単な微分方程式の解法
 →変数分離形の微分方程式の解法と例題

分野: まとめ