2015/06/21

ルートの近似値を計算する素朴な方法とコツ

分野: 式の計算  レベル: 入試対策

ルートの近似値を求める素朴な方法,および計算の際のコツを解説します。

ルートの近似値の求め方

$\sqrt{a}$ の近似値の求め方の概要:

  • $x^2≒a$ となりそうな簡単な $x$ を探す。
  • $x^2 > a$ ならもう少し小さい $x$ で再挑戦。
    $x^2 <a$ ならもう少し大きい $x$ で再挑戦。

非常に素朴な方法ですが,入試問題を解くときの検算の段階でけっこう使います(後述)。以下では具体例を通じてコツを解説します。

具体例

考え方も織り交ぜて解説しているので少し長く見えますが,慣れれば短時間で計算できます!

例題

$\sqrt{17}$ の近似値を有効数字二桁くらいで求めよ。

解答

二乗して $17$ になりそうな数字を探す。
$4^2=16$,$4.5^2=20.25$ より, $4 <\sqrt{17} <4.5$

ここで,$16$ の方が $20.25$ より $17$ にだいぶ(三倍くらい)近いので $4.1$ 〜 $4.2$ くらいに当たりがありそう。実際に計算してみると,$4.1^2=16.81, 4.2^2=17.64$ より, $4.1 <\sqrt{17} <4.2$

ここで,$16.81$ の方が $17.64$ より $17$ にだいぶ(三倍くらい)近いので $4.12$ 〜 $4.13$ くらいに当たりがありそう。実際に計算してみると,$4.12^2=16.9744,\:4.13^2=17.0569$ より, $4.12 <\sqrt{17} <4.13$

注:$\sqrt{17}=4.123105626\cdots$ です。

計算のコツ

・上の解答中のここで,$\cdots$ くらいに当たりがありそうという考察が重要です。前のステップの結果を使って当たりを予測することで探索の回数(二乗を計算する回数)を減らすことができます。

・下一桁が $5$ である数の二乗は簡単に計算できます。「 $5$ を除いた数 $N$ に対して $N(N+1)$ を計算して末尾に $25$ をつける」という有名な方法です。

$35^2$ を計算するときには $3\times 4=12$ の末尾に $25$ をつけて $1225$ とすればよい。
$125^2$ を計算するときには $12\times 13=156$ の末尾に $25$ をつけて $15625$ とすればよい。

上の例でも最初のステップで $4.5^2$ を計算するときに活躍しています。

ルートの近似値を求める必要性など

  • 出てきた答えにルートが含まれるとき,答えの大雑把な値を確認することでトンチンカンな間違いを防ぐことができます。特に積分を用いて面積,体積を計算するタイプの問題では「大雑把な値が予想できることが多い」&「積分計算はミスしやすい」ので概算による検算が有効です。
  • 必要な桁数(近似値の精度)が増えてくるとこの方法を手計算でやるのはわりと大変ですが,検算の目的でルートの近似値を計算するとき,有効数字二桁あればほとんどの場合十分です。
  • ちなみに平方根だけでなく,同じような考え方で三乗根などの近似値も求めることができます(三乗の計算はあんまりやりたくないですが)。
いろいろな検算手法を身につけるのも大事です。
分野: 式の計算  レベル: 入試対策