2015/02/03

三次元空間における直線の方程式

分野: 座標,ベクトル  レベル: 入試対策

三次元空間における直線の基本形:
点 $A(\overrightarrow{a})$ を通り,方向ベクトルが $\overrightarrow{d}$ であるような直線の方程式は,媒介変数 $t$ を用いて $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$ と表される。

$P(\overrightarrow{p})$ は直線上の点を表します。

空間における直線の方程式に関する公式はいくつか形がありますが,基本形で覚えておくのが一番よいでしょう。

例と証明

$(2,3,1)$ を通り方向ベクトルが$(1,-1,1)$ であるような直線の方程式は媒介変数 $t$ を用いて$(x,y,z)=(2,3,1)+t(1,-1,1)$
と表すことができる。
例えば $t=1$ とすると$(x,y,z)=(3,2,2)$ であるので$(3,2,2)$ はこの直線上にあることが分かる。


証明というほどではないですが,上記の公式が成立する理由は説明できるようになっておきましょう。二次元(直線の方程式)の場合と原理は全く同じです。

spaceline

(説明)
$P(\overrightarrow{p})$ が求める直線(黒の点線)上にある
$\iff$ ある実数 $t$ が存在して $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}$
が成立することからOK。

媒介変数を消去した形

応用形1:
$(x_0,y_0,z_0)$ を通り方向ベクトルが$(a,b,c)\:(a,b,c\neq 0)$ であるような直線の方程式は,
$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$

基本形から簡単に導出できます。

証明

冒頭の基本形において
$\overrightarrow{a}=(x_0,y_0,z_0),\:\overrightarrow{d}=(a,b,c)$ とおくと,
$x=x_0+ta$
$y=y_0+tb$
$z=z_0+tc$
となるので,ここから $t$ を消去すると,
$(t=)\:\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ を得る。

メリット:基本形を使うよりも少しだけ計算が楽になることがある。
デメリット:$a,b,c$ の一つ以上が $0$ だと場合分けが必要でめんどくさい。覚えていなくてもすぐに基本形から導ける。

空間において二点を通る直線の方程式

二次元の場合に二点を通る直線の方程式の3タイプの三つ目で解説した方法を三次元にしたものです。

応用形2:
二点 $A(\overrightarrow{a})$,$B(\overrightarrow{b})$ を通る直線の方程式は,
$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

証明

基本形において $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
とおくことで,求める直線の方程式は
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$,つまり
$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ となる。

※ $0\leq t\leq 1$ のときは線分 $AB$ 上の点を表し,それ以外のときは線分より外側の点を表します。

これも基本形からすぐに導出できましたが,使用頻度がわりと高いので覚えておくとよいでしょう。

なお,個人的には空間内の直線よりも空間内の平面の話の方が好きです。→平面の方程式とその3通りの求め方

基本形の考え方で $n$ 次元空間における直線の方程式も考えることができます。

Tag: 数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧

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