2014/04/01

相反方程式とその解き方

分野: 方程式,恒等式  レベル: 入試対策

定期試験や入試で出題される3次以上の方程式は以下の3つのタイプに分けることができる。

  • タイプ1:そのまま因数分解して解く方程式
  • タイプ2:相反方程式
  • タイプ3:複二次式(複 $n$ 次式)

2次方程式はどんな場合も解の公式を用いて解くことができますが,3次以上の方程式は一般的に解の公式を用いて解くことができません。(3次方程式にはカルダノの公式というのが存在するが,複雑過ぎて現実的でない)

そこで,入試問題では3次以上の方程式に関しては上記の「都合のいい3タイプ」しか出題されません。

特に,ほとんどの場合はタイプ1で,因数分解で解くことができます。しかし,まれに簡単に因数分解できない方程式が出題されることがあります。それが,相反方程式と複二次式です。このページでは相反方程式を扱います。

相反方程式とは

相反方程式とは,係数が左右対称な方程式のことを言います。

相反方程式の例
$x^2+1=0\\
x^3-3x^2-3x+1=0\\
x^4+x^2+1=0$

係数はそれぞれ$(1,0,1), (1,-3,-3,1), (1,0,1,0,1)$ となっており左右対称です。
$0$ も係数とみなすので,係数が$(1,0,1,1,1)$ となっている
$x^4+x^2+x+1=0$ は相反方程式ではありません。

4次の相反方程式と5次の相反方程式が頻出(というかそれ以外ほぼ出ない)です。4次の場合と5次の場合で解き方が若干異なるのでそれぞれ説明します。

4次の相反方程式の解き方

最高次の係数で両辺を割ることで,解きたい方程式は以下の形に帰着されます:
$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$
$x=0$ は解でないので両辺を $x^2$ で割り,$x+\dfrac{1}{x}=t$ と置きます:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}+a(x+\dfrac{1}{x})+b=0$
$(t^2-2)+at+b=0$
これは2次方程式なので $t$ について解くことができます。
そして,$x+\dfrac{1}{x}=t$ は $x$ についての2次方程式なので $t$ から $x$ の値も分かります。

一般化:
一般的に偶数次($2n$ 次)の相反方程式は $x+\dfrac{1}{x}=t$ とおくことによって $t$ についての $n$ 次方程式に帰着することができる。

ちなみに,上記の事実は「 $x^n+\dfrac{1}{x^n}$ が $x+\dfrac{1}{x}$ の $n$ 次式で表される」という性質に基づいています。

5次の相反方程式の解き方

最高次の係数で両辺を割ることで,解きたい方程式は以下の形に帰着されます:
$x^5+ax^4+bx^3+bx^2+ax+1=0$
左辺に $x=-1$ を代入すると $0$ になることが分かります。よって因数定理から左辺は$(x+1)$ で割り切れます!同様にして,一般的に奇数次の相反方程式は必ず$(x+1)$ で割り切れることが分かります:
$(x+1)(x^4+(a-1)x^3+(b-a+1)x^2+(a-1)x+1)=0$
さらに,左辺の2つ目の因数は係数が左右対称になっています。
すなわち,$x^4+(a-1)x^3+(b-a+1)x^2+(a-1)x+1=0$ は4次の相反方程式です。よって,先ほど紹介した方法を用いて解くことができます。

一般化:
一般的に奇数次($2n+1$ 次)の相反方程式は$(x+1)$ で割り切れ,$x+\dfrac{1}{x}=t$ とおくことによって $t$ についての $n$ 次方程式に帰着することができる。

例題

$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$
奇数次の相反方程式なので$(x+1)$ で割り切れる:
$(x+1)(x^4+x^3+2x^2+x+1)=0$
$x=0$ は解でないので,2つめの因数から出てくる方程式を $x^2$ で割り,$x+\dfrac{1}{x}=t$ とおく:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}+x+\dfrac{1}{x}+2=0\\
t^2-2+t+2=0\\
t=0, -1$
$t=0$ のとき,$x+\dfrac{1}{x}=0$ から $x=\pm i$
$t=-1$ のとき,$x^2+x+1=0$ から $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
以上から,$x=-1, \pm i, \dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

相反は「あいはん」ではなく「そうはん」と読みます。

Tag: 因数分解の発展的な公式・応用例まとめ
Tag: いろいろな方程式の解き方まとめ

分野: 方程式,恒等式  レベル: 入試対策