2014/04/27

因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)

分野: 整数問題  レベル: 数学オリンピック

ソフィー・ジェルマン(Sophie Germain)の恒等式:
$a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$

一見因数分解不可能な式も因数分解できるので,整数問題で威力を発揮します。

恒等式の導出

右辺を展開して左辺に一致することを確認すれば簡単に証明できますが,恒等式を知らなくても左辺の形を右辺に因数分解することができます:

$a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\
=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2\\
=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$

なぜ係数が4なのか

$4$ 以外の場合にも同様の公式が得られないか探してみます。

より一般的に $a^4+kb^4$ に同様の手法を適用して強引に因数分解すると,
$a^4+kb^4=(a^2+\sqrt{2\sqrt{k}}ab+\sqrt{k}b^2)(a^2-\sqrt{2\sqrt{k}}ab+\sqrt{k}b^2)$
となり,残念ながらルートが出てきてしまいます。

$\sqrt{k}と\sqrt{2\sqrt{k}}$ が整数になると整数問題に応用できそうです。そのような $k$ の条件を求めると,$k=4n^4\:(n$ は整数)となり,そのとき恒等式の左辺は
$a^4+4n^4b^4$ となります。これはソフィージェルマンの恒等式で $b=nb$ としたものに他なりません。

数学オリンピックの問題へ応用

ソフィー・ジェルマンの恒等式の威力を実感してもらうために,1969年の国際数学オリンピックルーマニア大会の問題を紹介します。

問題

「任意の自然数 $n$ に対して $n^4+a$ が素数でない」という条件を満たす自然数 $a$ が無限個存在することを証明せよ。

方針:ソフィージェルマンの恒等式を知らないとかなり厳しい問題です。 $n^4+a$ が合成数であるような $a$ が無限個存在することを示せばよいので,$a=4k^4$ とすれば恒等式が使えます。

解答

$a=4k^4\:(k$ は $2$ 以上の自然数)のとき問題の条件を満たすことを示せば良い。つまり,任意の自然数 $k\geq 2, n$ に対して $n^4+4k^4$ が合成数であることを示せば良い。

$n^4+4k^4=(n^2+2nk+2k^2)(n^2-2nk+2k^2)$
と因数分解できるので,$(n^2-2nk+2k^2)\geq 2$ を示せばよいが,これは
$n^2-2nk+2k^2=(n-k)^2+k^2$ より成立。

知名度が低いけど数学オリンピックなどの難問ではちょくちょく使う渋い恒等式です

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