ソモスの数列

$k=2,\:3$ のときのソモスの数列は全ての項が $1$ であるつまらない数列になります。

$k=2$ のとき，
$a_0=a_1=1$ かつ，$a_na_{n-2}=a_{n-1}^2$

$k=3$ のとき，
$a_0=a_1=a_2=1$ かつ，$a_na_{n-3}=a_{n-1}a_{n-2}$

いずれも帰納的に任意の $n$ に対して $a_n=1$ であることが分かります。

$k=4$ の場合から意味のある面白い数列になります。そのため $k=4$ の場合のソモスの数列をソモスの第一数列と呼ぶ流儀もあるようです。

$a_0=a_1=a_2=a_3=1$ かつ，
$a_na_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2$

$k=4$ の場合のソモスの数列の各項を順々に計算してみると，

$1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314,$

$1529, 8209, 83313, 620297, 7869898,\cdots$

となり全て自然数です。

漸化式を変形すると，$a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2}{a_{n-4}}$ となり，$a_n$ には分数が登場しそうですが，$k=4,\:5,\:6,\:7$ の場合のソモスの数列の各項は全て自然数です。

これは非自明な面白い性質です。証明は数学的帰納法を用いて簡単にできそうですが，そこそこ大変っぽいです。

$k=4$ の場合のソモスの数列の整数性については，ソモスの数列 So-net（外部サイト）に載っているので気になる人はどうぞ。

$k\geq 8$ の場合のソモスの数列は各項が自然数とは限りません。

$k=8$ の場合のソモスの数列を実際に計算してみました。

$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=a_7=1$

$a_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-7}+a_{n-2}a_{n-6}+a_{n-3}a_{n-5}+a_{n-4}^2}{a_{n-8}}$

に従うと $a_8$ 以降は，

$4,\:7,\:13,\:25,\:61,\:187,\:$

$775,\:5827,\:14815,\:\dfrac{420514}{7}$

となり，$a_{17}$ は自然数ではありません！

また，$k\leq 7$ の場合でも初期条件を変えると一般には分数が登場します。

例えば $k=4$ の場合のソモスの数列の初期条件を $a_1=a_3=2,\:a_2=a_4=1$ とすると，

$a_5=\dfrac{1\cdot 1+2^2}{2}=\dfrac{5}{2}$ となります。