束の考え方と例題（直線，円，一般論）

$s(2x+y+3)+t(x-3y+1)=0$ という図形は，

1. 束の考え方より交点 $P$ を通る
2. $x$ と $y$ の一次式なので直線を表す

よって，あとは $s,\:t$ をうまく定めて $(0,0)$ を通るようにしてやればOK。そこで上式に $(0,0)$ を代入すると

$3s+t=0$

この $s=t=0$ 以外の解を持ってくればOKなので，例えば $s=1,\:t=-3$ とすれば，

$(2x+y+3)-3(x-3y+1)=0$

つまり

$-x+10y=0$ を得る。

$s(x^2+y^2-1)+t(x^2-2x+y^2-2y-2)=0$ という図形は，束の考え方より交点 $P,\:Q$ を通る。

よって，あとは $s,\:t$ をうまく定めて直線の方程式にしてやればOK。そこで $x^2,\:y^2$ の係数が $0$ になるように，例えば $s=1,\:t=-1$ とする：

$(x^2+y^2-1)-(x^2-2x+y^2-2y-2)=0$

つまり

$2x+2y+1=0$ を得る。

$f(x,y)=0$ と $g(x,y)=0$ の交点 $P$ の座標を $(x_P,\:y_P)$ とおくと，当然ながら $f(x_P,y_P)=g(x_P,y_P)=0$ を満たす。

よって，それらの重み付き和（線形結合という）も $0$ である：

$sf(x_P,y_P)+tg(x_P,y_P)=0$

よって，$P$ は $sf(x,y)+tg(x,y)=0$ が表す図形に含まれる。

交点が複数ある場合，全ての交点について上記の議論が成立する。