2015/09/28

相似比と面積比,体積比の公式の証明

分野: 平面図形  レベル: 基本公式

相似な平面図形について,面積比=相似比の二乗
相似な空間図形について,体積比=相似比の三乗

面積比をきちんと理解できれば体積比もほぼ同様に理解できるので「面積比=相似比の二乗」を中心に解説します。

相似な平面図形の面積比

全て同じことですが,いろいろな言い方があります。

  • 面積比=相似比の二乗
  • 相似比が $a:b$ のとき,面積比は $S_a:S_b=a^2:b^2$
  • 図形を $k$ 倍に拡大すると面積は $k^2$ 倍になる

証明(簡単な図形)

一般の平面図形について証明する前に,まずは簡単な図形で確認してみます。

三角形

相似比と面積比

三角形の面積は底辺×高さ× $\dfrac{1}{2}$ です。 $k$ 倍に拡大すると底辺が $k$ 倍,高さも $k$ 倍されるので面積は $k^2$ 倍されます。ちなみに $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ という面積公式からも分かります。

長方形

長方形の面積は横の長さ×縦の長さです。 $k$ 倍に拡大すると横の長さも縦の長さも $k$ 倍されるので面積は $k^2$ 倍されます。

その他の簡単な図形

他にも円$(S=\pi r^2)$,楕円$(S=\pi ab)$,台形$(S=\dfrac{h}{2}(a+b))$ など,平面図形の面積を表す公式は必ず長さの二次の項のみからなっており,$k$ 倍に拡大すると面積は $k^2$ 倍になることが分かります。

証明(一般の図形)

多角形の場合

多角形は三角形分割できます。図形を $k$ 倍に拡大すると,各三角形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になります。

一般の図形の場合(大雑把な説明)

一般の図形は(無限に小さい)長方形に分割できます。図形を $k$ 倍に拡大すると,各長方形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になります。

応用例

高校入試,大学入試で頻出の公式ですが,有名な定理の証明にも使われます。
→錐体の体積公式に1/3がつくことの2通りの説明
→ブラーマグプタの公式とその証明

相似な空間図形の体積比

次は空間図形の体積比です。平面図形の面積比と同じように証明できます。

証明の概略

  1. 直方体の場合について正しい(体積は縦×横×高さなので $k$ 倍に拡大すると体積は $k^3$ 倍になる)
  2. 一般の空間図形は(無限に小さい)直方体の集まりとみなせる
この記事ではフラクタルなどのやばい図形は考えていません。
分野: 平面図形  レベル: 基本公式