同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明

$\Leftarrow$ の証明

$A$ と $B$ が同時対角化可能なとき，ある正則行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP$ と $P^{-1}BP$ がともに対角行列となる。

対角行列どうしは交換可能なので，

$(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$

整理する：

$P^{-1}ABP=P^{-1}BAP$

$AB=BA$

$A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルの一つを $u$ とおくと，

$Au=\lambda u$

$BAu=\lambda Bu$

$A(Bu)=\lambda (Bu)$

つまり $Bu$ も $A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルである。

次に，$A$ の固有値 $\lambda_1$ に対応する固有空間の正規直交基底を $u_1,\cdots,u_k$ とすると，上の議論により $Bu_i\:(1\leq i\leq k)$ は $u_1,\cdots,u_k$ の線形結合で表せるので，

$B(u_1,\cdots,u_k)=(u_1,\cdots,u_k)C_1$ と書ける（$C_1$ は $k\times k$ の行列）。

この議論は他の固有値 $\lambda_2,\cdots,\lambda_N$ についても成立する。

よって，$A$ の線形独立な固有ベクトルを（同じ固有値に対応する固有ベクトルは隣り合うような順番で）並べた行列を $P=(u_1,\cdots,u_n)$ とおくと，$P$ は直交行列であり，

$BP=P\begin{pmatrix}C_1&&\\&\ddots&\\&&C_N\end{pmatrix}$ となる。

つまり $P^{-1}BP$ はブロック対角行列になる。

また，$P^{-1}BP$ は対称行列（→補足）なので，各 $C_i$ も対称行列となり，対角化可能である： $Q_i^{-1}C_iQ_i=D_i$

よって，$Q=\begin{pmatrix}Q_1&&\\&\ddots&\\&&Q_N\end{pmatrix}$ とおくと，

$Q^{-1}P^{-1}BPQ$ は対角行列になる。つまり $PQ$ は $B$ を対角化する。

一方，$PQ$ は $A$ の固有ベクトルを並べた行列 $P$ を「ブロック対角行列 $Q$ で混ぜたもの（各固有空間内で混ぜるだけ）」であり，$PQ$ の列ベクトルたちも $A$ の線形独立な固有ベクトルである。つまり $PQ$ は $A$ も対角化する。