シェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックス

• 平行移動も回転も合同変換（任意の2点間の距離を変えない）です。つまり集合 $S$ は，自分自身と「合同な」もの2つに分割できるというわけです。分身の術です。結果が直感に反するのでパラドックスと呼ばれていますが「定理」です。

• シェルピンスキー・マズルキーウィチ（Sierpinski-Mazurkiewicz）のパラドックスという名前がすごい（印象的）です。

座標平面において原点 $O$ に対して以下の2つの操作を繰り返して得られる点の集合を $S$ とします。

操作1．$x$ 座標を $+1$

操作2．原点中心に $1$ ラジアン反時計回りに回転

（ただし，1回目の操作で操作2を行っても意味が無いので1回目の操作は操作1とする）

例えば，$A(2,0)$ は「操作1，操作1」で得られるので $S$ の要素です。また，$B(\cos 1,\sin 1)$ は「操作1，操作2」で得られるので $S$ の要素です。$S$ は無限集合です。

複素数平面で考えると，操作1は $1$ を加えることに対応し，操作2は $e^i$ をかけることに対応するので，$S$ の要素は係数が $0$ 以上の整数である多項式 $P$ を用いて $P(e^i)$ と表せます。

さきほどの例について，$A$ は $2$ という複素数に対応し，$B$ は $e^i$ という複素数に対応しています。他にも例えば $4(e^i)^3+e^i+2$ に対応する点も $S$ の要素です。

逆に「係数が $0$ 以上の整数である多項式 $P$ を用いて $P(e^i)$ と表せる複素数に対応する点」が $S$ の要素であることも分かります。

また，$S$ の1つの要素に2つ以上の多項式が対応することはありません。つまり，操作1と操作2を適当な順番で組み合わせて点 $C$ が実現できたとき，他の順番では点 $C$ は実現できません。

超越数については超越数の意味といくつかの例を参照して下さい。$e^i$ が超越数であることの証明は簡単ではありません（リンデマンの定理というものを使えばできます）。

$S$ の要素のうち「最後の操作が操作1」であるようなものの集合を $S_1$ 「最後の操作が操作2」であるようなものの集合を $S_2$ とします。

複素数平面で考えると，

$S_1$ →最後に $+1$ →対応する多項式 $P$ の定数項が $0$ でないもの

$S_2$ →最後に $\times e^i$ →対応する多項式 $P$ の定数項が $0$ であるもの

となります。