2014/11/03

媒介変数表示された有名な曲線7つ

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学

微分を使って媒介変数表示で表された曲線のグラフの概形を書き,積分を使って面積を求めさせるというのは頻出の問題です。入試でよく登場する曲線を整理しました。

サイクロイド曲線

サイクロイドのグラフ

・特徴:円を直線に沿って転がしたときの円周上の一点が動く軌跡。

・媒介変数表示:
$x=a(\theta-\sin\theta)$
$y=a(1-\cos\theta)$

・コメント:超頻出です。特徴から式の導出,式からグラフの概形の導出ともにできるようになっておきましょう。→サイクロイドについて覚えておくべきこと

アステロイド曲線(星芒形)

アステロイド

・特徴:半径 $a$ の円の内側を半径 $\dfrac{a}{4}$ の円が滑らずに転がるときの一点の軌跡。

・媒介変数表示:
$x=a\cos^3 \theta$
$y=a\sin^3\theta$

・コメント:円の半径の比が $4:1$ のときにアステロイドになりますが,一般の場合には様々な図形を描きます(ハイボサイクロイド,内サイクロイドなどと呼ばれる)。→アステロイド曲線の重要な性質まとめ

カージオイド曲線(心臓形)

カージオイドのグラフ

・特徴:半径 $a$ の円の外側を半径 $a$ の円が滑らずに転がるときの一点の軌跡。

・媒介変数表示:
$x=a(1+\cos\theta)\cos\theta$
$y=a(1+\cos\theta)\sin\theta$

・コメント:極方程式では $r=a(1+\cos\theta)$ と表されます。円の半径の比が $1:1$ のときにカージオイドになりますが,一般の場合には様々な図形を描きます(エピサイクロイド,外サイクロイドなどと呼ばれる)。

ちなみに,$r=a\cos\theta+b$ と一般化したものとをリマソン(パスカルの蝸牛形)と呼びます。 $a=b$ の場合がカージオイドです。
→カージオイド曲線のグラフ,面積,長さ

対数螺旋(等角螺旋)

等角螺旋のグラフ

・特徴:渦巻き。

・媒介変数表示:
$x=ae^{b\theta}\cos\theta$
$y=ae^{b\theta}\sin\theta$

・コメント:極方程式では $r=ae^{b\theta}$ と表されます。 $b$ の符号によって渦巻きの向きが決まります。
→対数螺旋の式と面積、長さ
京大の例題→極方程式の面積公式と例題

リサージュ図形

リサージュのグラフ

・特徴:$x$ 方向と $y$ 方向の単振動の合成。

・媒介変数表示:
$x=A\sin(a\theta+\delta)$
$y=B\sin(b\theta)$

・コメント:振幅 $A,B$,角周波数 $a,b$,位相差 $\delta$ によって線分,円,楕円など様々な図形となる。図は $A=B=1, a=3, b=4,\delta=0$ の場合。
グラフの概形を書くときは周期性に注目することが重要。

レムニスケート

lemniscate

・特徴:二点からの距離の積が一定値 $k$ であるような点の軌跡。(ただし,$k$ が二点間の距離に対して十分小さくない場合はレムニスケートにはならない。)

・極方程式:$r^2=2a^2\cos 2\theta$
(媒介変数表示は汚いので極方程式で紹介した)

・コメント:名前がかっこいい。

インボリュート曲線

インボリュートのグラフ

・特徴:固定したリール(糸巻き)から糸をたるませないように糸をほどいていくときに糸の端点が描く軌跡。

・媒介変数表示:
$x=a(\cos\theta+\theta\sin\theta)$
$y=a(\sin\theta-\theta\cos\theta)$

・コメント:実際に糸を巻いたりほどいたりすると楽しい。


追記:デカルトの葉線→デカルトの葉線の漸近線と面積

僕はアステロイドとインボリュートが好きです。

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