2015/12/03

デカルトの葉線の漸近線と面積

分野: 極限,微分  レベル: 最難関大学

$xy$ 平面上において $x^3+y^3-3axy=0$
と表される曲線をデカルトの葉線と言う。

デカルトの正葉線,デカルトの葉とも言います。

媒介変数表示,極座標表示

デカルトの葉線は以下のように表現することもできます。

  • 媒介変数表示:$x=\dfrac{3at}{1+t^3}$,$y=\dfrac{3at^2}{1+t^3}$
  • 極座標表示:$r=\dfrac{3a\sin\theta\cos\theta}{\sin^3\theta+\cos^3\theta}$

これらが全て同じ曲線を表すことは簡単な計算で確認できます。

グラフ,漸近線

デカルトの葉線のグラフ

デカルトの葉線のグラフは図の青い曲線になります。

グラフは $y=x$ に関して対称です。$(x,y)$ が $x^3+y^3-3axy=0$ を満たすなら,$(y,x)$ も満たすことから分かります。

また, $y=-x-a$ を漸近線に持ちます。

漸近線の導出

$x^3+y^3-3axy=0$ を因数分解公式(3つの立方和)を用いて変形すると,
$(x+y+a)(x^2+y^2+a^2-xy-ya-ax)=a^3$
$(x+y+a)\{(x-y)^2+(y-a)^2+(a-x)^2\}=2a^3$

$a$ は定数であり,$|x|$ を大きくしていくと,左辺の2つめの因数はどんどん大きくなる。一方,右辺は一定である。よって,左辺の1つめの因数は $0$ に近づく必要がある。

つまり,$|x|$ が十分大きいとき $x+y+a\fallingdotseq 0$

面積

デカルトの葉線で囲まれた領域の面積は,$S=\dfrac{3}{2}a^2$ である。

極方程式の面積公式を用いて計算します。積分計算の方法は読者の方に教えてもらいました,感謝!

証明

極座標表示を用いる。
$S=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}r^2d\theta\\
=\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{(\sin^3\theta+\cos^3\theta)^2}d\theta\\
=\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\tan^2\theta}{(\tan^3\theta+1)^2}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$

ここで、 $\tan\theta=t$ とおくと,
$S=\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{t^2}{(t^3+1)^2}dt\\
=\dfrac{9}{2}a^2\left[-\dfrac{1}{3(t^3+1)}\right]_0^{\infty}\\
=\dfrac{3}{2}a^2$

デカルトの葉線のグラフはギリシャ文字のファイに似ていますね。

Tag:媒介変数表示された有名な曲線7つ

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