2016/02/07

単項式,多項式,整式

分野: 式の計算  レベル: 基本公式

単項式,多項式,整式という用語について。および,多項式と間違えやすいけど多項式でないものについて。

流儀1(主に高校数学)

単項式

数,文字,およびそれらの積として表される式のこと。
例: $3.14$,$x$,$2xy^2$,$3abc$

数の部分を係数,かけあわされている文字の個数(種類数ではない)を次数と言います。
例: $2xy^2$ の係数は $2$,次数は $3$。

多項式

単項式の複数(2つ以上)の和として表される式のこと。
例: $x+3$,$x^2+y^2+z^2$,$1+x+x^2+x^3$

整式

単項式と多項式を合わせて整式と言います。

高校生はここまで理解すればOKです。

流儀2

「単項式(monomial)」については流儀1と同じですが,流儀1における「整式」のことを「多項式(polynomial)」と呼びます。つまり,項が一つのものも「多項式」と呼びます。

大学以降ではこちらの流儀が一般的だと思います。例えば(流儀2の意味の)多項式全体の集合を多項式環と呼びます。各成分が(流儀2の意味の)多項式であるような行列を多項式行列と言います。

整式でないもの

$\dfrac{1}{x}$ は「数,文字,およびそれらのとして表される式」ではないので整式(単項式)ではありません(ちなみに,整式÷整式 で表せる式を有理式,または分数式と言います。$\dfrac{1}{x}$ は有理式です)。

$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ も同様に整式ではありません。

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+\cdots$ のように項が無限個あるようなものも多項式とは言いません(べき級数と言う)。

「整式」は高校数学の一番最初(四月病により勉強のモチベーションが高い時期)に習う内容です。

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