2014/08/14

三角関数sec, cosec, cotと記号の意味

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$, $\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}$, $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$

$\mathrm{cosec}$ のことを $\csc$ と書く人もいます。

sec, cosec, cotについて

  • $\dfrac{1}{\sin x}$ や $\dfrac{1}{\cos x}$ はいろいろなところに登場するのでそれ自体に簡単な記号を定めてやりましょうというスタンスで導入された記号です。一部の教科書では実際に使われています。
  • $\sec$ のことを正割(セカント),$\mathrm{cosec}$ のことを余割(コセカント),$\cot$ のことを余接(コタンジェント)と呼びます。
  • 例えば $1+\tan^2 x=\sec^2 x$ などのように使われます。分数の表記を避ける事ができます。
  • しかし,「 $\dfrac{1}{\sin x}$ と書くより $\mathrm{cosec}$ と書いたほうが楽だ」と思う人はほとんどいないと思います。分数を避けるのか $\sec$ などの新しい記号を避けるのか?個人的には分数を避けるメリットよりも記号が増える煩わしさの方が重大なので $\sec,\mathrm{cosec},\cot$ は使わないという立場です。
  • しかし,一部ではまだ使われているのでもし自分が使わないとしても記号が出てきたときに理解できる必要はあるのです。

ついでにsec,cosec,cot以外の記号について

逆三角関数

・ $\sin x$ の逆関数を $\sin^{-1}x$ と表記してもよいのですが,$\mathrm{Arcsin}x$ と表記することが多いです。→逆三角関数の重要な性質まとめ
$\sin^{-1}x$ は $\dfrac{1}{\sin x}$ と勘違いしてしまうおそれがあるからです。

・ここでは新しい記号が増える煩わしさより,意味を間違えられる危険性が勝つので $\mathrm{Arcsin}$ を使います。(個人的な見解です,$\sin^{-1}x$ を使う人もいます。)


指数関数

・高校数学ではあまりみかけませんが,指数関数 $e^x$ を $\exp(x)$ と表記することがあります。

・これは記号も増えて表記も長くなってデメリットしかないように思えますが,
$e^{\frac{x^2+1}{2}}$ のように指数に乗る式が複雑になったときに威力を発揮します。
$\exp(\tfrac{x^2+1}{2})$ の方が見やすいですし,式が上下に広がるのを防いでくれます。

大学に入ると $\mathrm{Arcsin}$ や $\exp$ が大活躍します。 $\sec$ は活躍しません。
分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式