2014/03/02

Schurの不等式の証明と例題

分野: 不等式  レベル: 数学オリンピック

Schur(シュール)の不等式:
$r>0, x, y, z\geq0$ に対して,
$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$ 等号成立条件は,
$x=y=z$ or $x, y, z$ のうち1つが0で残りの2つが等しい場合。

追記:$r > 0$ という条件は不要でした。任意の実数 $r$ に対して成立します。($r\leq 0$ のとき等号成立条件は $x=y=z$)

Schurの不等式は相加相乗平均の不等式やシュワルツの不等式と比べ直感的に説明できないので取っ付きにくいですが,扱いに慣れれば強力な武器になります。数学オリンピックの不等式証明問題ではSchurの不等式を知らないと非常に難しい問題も含まれており,前提知識となっています。

Schurの不等式の証明

一見複雑なSchurの不等式も簡単に証明することができます。

証明

Schurの不等式は $x, y, z$ について対称なので $x\geq y\geq z$ としても一般性を失わない。
このように大小関係をつければ,左辺第3項は非負であることが分かる。
よって残りの2項を評価すればいいが,$(x-y)$ でくくれて,
$(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}$ も仮定した大小関係から非負であることが分かる。


追記:$r\leq 0$ のときの証明です。 $r > 0$ の場合と比較すると面白いです。

Schurの不等式は $x, y, z$ について対称なので $x\geq y\geq z$ としても一般性を失わない。
このように大小関係をつければ,左辺第1項は非負であることが分かる。
よって残りの2項を評価すればいいが,$(y-z)$ でくくれて,
$(y-z)\{z^r(x-z)-y^r(x-y)\}$ も仮定した大小関係から非負であることが分かる。

よく用いられるSchurの不等式の形

Schurの不等式は以下の形で用いられることが多いので覚えておくとよいでしょう:
$x^{r+2}+y^{r+2}+z^{r+2}+x^ryz+xy^rz+xyz^r\\\geq x^{r+1}y+y^{r+1}x+y^{r+1}z+z^{r+1}y+z^{r+1}x+x^{r+1}z$

特に,$r=1$ の場合が頻出なのでこの形を見たらピンときましょう:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq x^{2}y+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}y+z^{2}x+x^{2}z$

3変数3次斉次式の不等式の証明は,「相加相乗平均,シュワルツ,$r=1$ の場合のSchurの不等式」を使えばほぼ確実にできます。
3変数斉 $n$ 次式の不等式の証明は,「相加相乗平均,シュワルツ,$r=n-2$ の場合のSchurの不等式」を使えばできることが多いです。

Schurの不等式の例題

問題1

$a+b+c=1, a, b, c> 0$ のとき $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$ を証明せよ。

方針:条件を用いて不等式を斉次式化するという基本方針に従います。斉次式化して整理するとSchurの不等式に帰着されます。

解答

証明すべき不等式は以下の不等式と同値である:
$5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3$
両辺を展開する:
$5(a^3+b^3+c^3)+5(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)\\ \leq
7(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+6abc$
整理する:
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$
これは $r=1$ の場合のSchurの不等式そのものである。

問題2

$ab+bc+ca=3, a, b, c> 0$ のとき $a^3+b^3+c^3+6abc\geq 9$ を証明せよ。

方針:今回は条件式の左辺が2次で,斉次式化しようとすると不等式が複雑になってしまうので,とりあえずSchurの不等式を使ってみるとラッキーなことに因数分解できることが分かります。

解答

$r=1$ の場合のSchurの不等式より,
(示すべき不等式の左辺)$=(a^3+b^3+c^3+3abc)+3abc$
$\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc$
$=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\=3(a+b+c)$
よって,$a+b+c\geq 3$ を示せば良い。
ここで,有名な不等式 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$ より,
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9$ となり題意は示された。


Tag: 数学オリンピック突破のための有名不等式まとめ

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