2014/11/26

関数の右極限,左極限と連続性

分野: 極限,微分  レベル: 基本公式

右極限:右から近づいたときの極限
左極限:左から近づいたときの極限
右連続:右から近づいたときにつながっている
左連続:左から近づいたときにつながっている

関数の右極限,左極限,右連続,左連続,連続について解説します。

右極限,左極限の定義

・この記事では一変数関数 $f(x)$ について考えます(多変数関数の場合,右から近づく,とか左から近づく,とかそもそも定義できない)。

・ $x$ が点 $a$ に右から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の右極限と言います。右極限を式で書くと以下のようになります:
$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x),\:\lim_{x \downarrow a}f(x),\:$

・ $x$ が点 $a$ に左から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の左極限と言います。左極限を式で書くと以下のようになります:
$\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x),\:\lim_{x \uparrow a}f(x),\:$

右極限と左極限

例1

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ は $x=0$ では定義されないが,$0$ に右から近づくと$+\infty$ に発散し,左から近づくと$-\infty$ に発散するので,
$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\infty,\:$ $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=-\infty$

関数の右連続性と左連続性

・関数の右連続性:$x$ が点 $a$ に右から近づいたとき,関数 $f(x)$ がとぎれることなく $a$ までたどりつけるとき $f(x)$ は $x=a$ で右連続と言います。
数学的にきちんと言うと,
$f(x)$ が $x=a$ で右連続
$\iff$ $x=a$ で右極限が存在して $f(a)$ と等しい
$\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=f(a)$

・関数の左連続性:左連続性も同様に定義されます:
$f(x)$ が $x=a$ で左連続
$\iff$ $x=a$ で左極限が存在して $f(a)$ と等しい
$\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=f(a)$

・ $x=a$ で右連続かつ左連続なとき,つまりどっち側から近づいてもつながっているとき $x=a$ で連続と言います。

例2

$f(x)=x\:(x\neq 1),f(1)=2$ という関数の $x=1$ における右極限,左極限を求め,連続性を述べよ。

右連続と左連続
  • 左右極限:どっちから近づいても極限値は $1$ なので,$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=1$
  • 連続性:$f(1)=2$ となり左右極限値と異なるので右連続でも左連続でもない。当然連続でない。

右連続だが連続でない関数の例

右連続だが左連続でない,したがって連続でないような関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。

ガウス記号のグラフ

例3(ガウス記号):$x$ の整数部分を返す関数,$f(x)=\lfloor x\rfloor$ は右連続だが $x$ が整数の点で左連続ではない。

例えば $x=1$ に左から近づいても極限値は $0$ のままで $f(1)=1$ に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。

分布関数

例4(分布関数):確率変数 $X$ が $X\leq x$ となるような確率 $P(X\leq x)$ を分布関数と呼び,$F(x)$ で表す。分布関数は右連続だが左連続とは限らない。

図はサイコロの出る目 $X$ の分布関数です。例えば,$3.8$ 以下の目が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ なので $F(3.8)=\dfrac{1}{2}$ となります。

世の中には上極限,下極限,上半連続、下半連続などという概念もあります。

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