三次関数の対称性と４等分の法則

$y=ax^3+bx^2+cx+d$ を適当に平行移動して二次の係数と定数項を消す。

つまり，$y=ax^3+px$ という形のものだけ考えれば良い。

これが原点に関して点対称であることを示す。

$(x_0,y_0)$ がグラフ上にある

⇔ $y_0=ax_0^3+px_0$

⇔ $-y_0=a(-x_0)^3+p(-x_0)$

⇔ $(-x_0,-y_0)$ がグラフ上にある

よって，変曲点に関する点対称性が示された。

直線 $y=px+q$ と三次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ の交点の $x$ 座標は三次方程式

$px+q=ax^3+bx^2+cx+d$ の解である。

この方程式の3つの解の和は，解と係数の関係より $-\dfrac{b}{a}$ である。これは $p,q$ によらない。つまり， 交点の $x$ 座標の和 $S$ は直線によらない。

そして，変曲点を通る直線を考えるとさきほど示した点対称性より $S=3C$ となる。

よって，極小点を通り $x$ 軸と平行な直線について考えると $A+2D=3C$ より $C$ は $A$ と $D$ を $2:1$ に内分する点。

この事実と「変曲点に関して点対称」より四等分の法則が示された。